换元法是一种非常有效的解题手段，尤其在处理一些结构复杂、变量较多的数学问题中，作用独特，效果明显. 恰当地引入新的变元，不仅沟通了题目中各变量之间的内在联系，还改变了数量关系的结构，从而使复杂问题的结构简单化、变量关系明显化、问题的背景熟悉化，进而结合相关问题的处理方法，使复杂的数学问题轻松获解.
换元法的难点是从某个角度选取某部分代数式作为新变元. 通常情况下，新的变元的选取策略是先从题设条件的关系或目标式的结构以及变元的多少思考，再根据题设条件的关系或目标式的结构特点，从题目的局部或整体选取恰当的代数式作为新的变元. 下面举例，着重说明代数换元法中变元的选取策略.
一般情况下，对于结构复杂的数学问题，首先应观察题设条件的关系及目标式的结构特点，以统一结构为目的，选取合适代数式赋予新变元，然后施行换元，再根据新的变元间的关系及结构特点，寻找解决问题的具体方法.
若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，则x1+x2等于（ ）
解析 本题中x1，x2的值是难以求出的，若令t=x-1，题设中的两式可以变形为2t=-t+■，log■t=-t+■，此时x1+x2=t1+t2+2.由数形结合，t1，t2可看成直线y=-x+■与函数y=2x及其反函数y=log■x的图象交点的横坐标（如图1）. 两交点分别为P（t1，2■），Q（t2，log2t2）. 又函数y=2x及其反函数y=log2x的图象关于直线y=x对称，而直线y=-x+■与直线y=x垂直，所以P，Q关于直线y=x对称，所以线段PQ的中点就是直线y=-x+■与直线y=x的交点M■，■. 由中点坐标公式得■=■，所以t1+t2=■，即x1+x2=t1+t2+2=■. 正确结果选C.
评注 题设条件式的特点是系数为2，指数式、对数式的底数均是2，因此，选取题设条件式中x-1作为替换对象，引入新变元t=x-1，则将题设条件的结构化同，由数形结合知t1，t2的内在关系，使问题迎刃而解.
对于结构复杂的数学问题，当换元不能统一目标式的结构，则常常根据题设条件的关系或目标式的结构特点，以拆分结构为目的，从局部或整体选取合适代数式赋予新变元，使目标式的结构重组，再根据新变元间的关系及结构特点，寻找解决问题的具体方法.
1. 根据题设条件的关系，引入变元
评注 若有题设条件x+y=a，通常可设x=■+t，y=■+r（且t+r=0），引入变元；若有题设条件x≥y≥c，通常可设x=c+α，y=c+β（且α≥β>0），引入变元.
设实数a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有实数根，求a2+b2的最小值.
解析 根据有关一元四次方程的理论，一般是把一个一元四次方程的求解问题转化成一个一元三次方程或两个一元二次方程的求解问题. 因此，降次是解决问题的首要目标.因为该方程系数对称分布且x≠0，故可施行“同除”，配方换元降次.
对方程两边同除以x2，则方程变为x2+ax+b+■+■=0，即x+■■+ax+■+b-2=0. 令t=x+■，则有t2+at+b-2=0（t≥2）. 所以t2-2=-（at+b）且t≥2，（t2-2）2=a2t2+b2+2abt≤a2t2+b2+a2+b2t2，即（t2-2）2≤（a2+b2）（t2+1），当且仅当a=bt时等号成立. 于是a2+b2≥■=t2+1+■-6. 令v=t2+1，则v=t2+1≥5，又由函数y=v+■（v≥5）的单调性，得a2+b2≥5+■-6=■. 所以（a2+b2）min=■，当且仅当t=2时等号成立. 由方程组t=-2，a=-2b，b-2a+2=0得a=■，b=-■（t=2时，a=-■，b=■亦成立）.
评注 题设条件是一元四次方程，其特点是系数对称、方程次数高.因此，恒等变形宜施行“倒除”“配方”，故选取x+■作为替换对象. 引入新变元t=x+■，不仅达到了降次目的，而且凸显了a，b的内在关系. 从联系的角度看问题，运用基本不等式后，使a2+b2与t整体剥离，从而把一个复杂的问题，悠然地带入一个顺畅的解题思路中，不需要高深的解题技巧和纷繁的分类讨论.
2. 根据目标式的结构特点，从局部引入变元
解析 本题涉及的三个变量a，b，c不具有对称性，且三个分式的分母都是多项式，如果通分，则运算量较大. 因此，可考虑把各分母用其他变元代换，拆分结构.
评注 分式型结构，又变量比较多的情况下，通常从分母入手，从局部代换引入变元，既改变了目标式的结构，又明确了变量间的关系，使问题的解决熟悉化. 本题通过对分母进行代换，改变了目标式的结构，使均值不等式有了用武之地.
3. 根据目标式的结构特点，从整体引入变元
评注 本题若从局部引入变元无济于事，但从整体引入变元，实现了结构与关系的同时转化.寻找变元的关系是必然的，但隐含条件（1-x2）（1-y2）（1-z2）=512（xyz）2的发现实属不易，而后反证法的及时应用，起到了柳暗花明的显著效果. 看来当无计可施时，不妨整体引入变元.
总之，不论是函数、方程和不等式问题，还是解析几何、三角与数列问题，换元法总是开启复杂问题大门的一把金钥匙. 只要适时选取恰当的变元，从变元间的关系入手，就能顺畅地解决复杂的数学问题.