摘要：极限概念是微积分学中最重要，最基本的概念。掌握好利用定义证明函数极限是学好高等数学的基础。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，本文直接或间接地用极限定义来证明一些我们经常见到高等数学问题。
Abstract： The concept of limit is the most important part in the calculus and the most basic concept. It is the foundation for learning well advanced mathematics to master the method of using the definition to proof function limit. Limit includes several kinds， such as， columns limit， function limit， limit of function categories， and so on. In this article， the limit definition is directly or indirectly used to prove the problems we often see in advanced mathematics.
关键词： 极限；极限定义；数列极限；函数极限
Key words： limit；definition of limit；series limit；function limit
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）31-0239-02
0 引言
在高等数学中我们经常见到很多证明问题可以直接或间接用极限定义来证明，极限定义本身很优美，在利用它证明其他问题的时候会起到很好的效果，能使整个证明过程简洁优美起来，参看文献[1，2，3，4，5，6，7，8]。极限有数列极限，函数极限，多元函数极限等几类，我们在每个不同类型的极限中都先列出定义，然后试图把每一类的不同应用整理出来。
1 数列极限
数列极限定义： 设{an}是一个数列，a是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，都有a■-a0，？埚N=[■]，当n>N时，都有
■-■N1（N1是某个常数），然后放大a■-aN2。令N=max{N1，N2}则n>N时，有a■-a0，？埚N1，当n>N1时，a■-aN■时，
■N=maxN■，N■时，■-a？燮■+■=ε
即■an■=a。
2 函数极限
函数极限定义：设f为定义在[a，+∞）上的函数，A是一个定数，若对任给正数ε>0，存在正数M（≥a），使得适合x>M时有f（x）-A0（限定00。
于是，？坌ε>0 ？埚A=-tanε-■>0，？坌x0，存在正数δ（0）则2x+1>1。于是，对任给的ε>0，只要取δ=min{3ε，1}，则当01，便于放大从而有■1，所以达不到放大的效果。
4 左、右函数极限
（左、右）极限定义：设函数f在U■■x■；δ′（U■■x■；δ′）内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（0，？坌ε>0（限定00，？埚δ=■>0，？坌x：0
函数f趋近于x0的左极限和右极限与函数趋近于x0的极限，有着一定的联系。如果函数f趋近于x0左极限等于右极限，则函数趋近于x0的极限存在，且等于左右极限。否则函数趋近于x0的极限不存在。如上例中■ g（x）≠■ g（x），则函数在0的邻域不存在极限。
参考文献：
[1]裴礼文编.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2005.1.
[2]华东师范大学数学系编[M].数学分析，第三版.高等教育出版社，2004.1.
[3]朱时编著.数学分析札记[M].贵州教育出版社，1994.2.
[4]欧阳光中，姚允龙，周渊编.数学分析（上册）[M].上海：复旦大学出版社，2002.4.