谷程鹏 陈武静 文伟
(湖南工业大学理学院 湖南 株洲 412007)
Mathematica软件是由美国物理学家及计算机学家Stephen Wolfram于1988年构思、设计的一款科学计算软件．发展迭代至今，它在科学工程领域得到了广泛的应用，同时由于它具有直观的数学图像绘制功能、动画演播功能和卓越的符号计算能力，也逐渐被用于数字化科学课堂的建设[1]．该软件的动画和交互式操作等功能，能模拟物理学的基本原理、复杂的实验现象以及诸多因素的相互作用过程，将物理现象和知识直观地展示给学生，有助于学生深入理解物理规律和知识，提高课堂教学效果．
本文以高中物理教学中难以进行现实实验教学的“带电粒子在匀强磁场中的运动”为例，介绍如何利用Mathematica软件进行课件开发和互动性创设，同时也将展示如何利用它构建情境性的教学环境以提高物理课堂教学效率．
这节课的主要内容是让学生理解带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力作用下的运动规律．在教学过程中我们发现，对于“轨道圆心角大小与速度偏转角大小相等”“速度方向与洛伦兹力方向始终垂直”这些动力学特征，学生理解得并不透彻[2]，而这些知识内容是本节中的重难点，经常出现在匀速圆周运动综合性问题中，也是高考题常见的热点知识．由于“磁偏转”现象在生活中不常出现，因此让学生顺利分析出粒子的运动过程，找出其几何关系[3]，是一个比较大的挑战．如果能够通过图像和动画形象地展示这种运动特征，并能够让学生亲身探究运动规律，这对于学生领悟和掌握这节内容将是一个积极的帮助．
传统的多媒体课件难以展示粒子运动的全过程，学生很难全面认识物理现象，归纳物理规律．而常规动画缺乏对不同磁场强度、磁场边界、粒子速度等诸多因素影响运动过程的模拟，学生在进行变式题型的训练时，容易对运动轨迹产生联想偏差，造成解题困难．而Mathematica软件具有丰富的涵盖计算领域的内置函数，强大的符号计算、数值计算和图形绘制功能，能完成复杂的物理仿真模拟，将抽象的带电粒子运动过程呈现给学生，并且其交互式操作功能可以实现不同参数配置下的带电粒子运动的动态模拟，提高了程序应用于教学的适应性．所以，应用Mathematica软件制作“带电粒子在匀强磁场中的运动”仿真实验可以促进课堂教学．
2.1 设计思路
仿真模拟物理现象，本质就是对一个系统运动规律的建模过程．为了精准模拟带电粒子在电磁场中运动的物理现象，要抽取带电粒子运动的过程，以下是带电粒子在均匀电磁场中低速运动的运动微分方程组[4，5]
而本程序模拟的是低速带电粒子在垂直于平面的匀强磁场中的二维运动情况，因此
E=0Bx=By=0
运动微分方程组即变为
本程序中粒子的质量m、电荷量q、垂直于平面的磁感应强度B都是可调控的已知参数，再利用Mathematica软件求出动力学微分方程组的数值解，获得粒子运动的坐标(x，y)，输入至绘图命令中，对带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹进行构建，就可以完成物理仿真模拟．
2.2 程序实现
为了使学生能更全面地认识“带电粒子在匀强磁场中运动”的规律，本程序使用了Mathematica软件中的交互式操作命令Manipulate[expr,{u,umin,umax,du}]，其中expr为任意图形的表达式,{u,umin,umax,du}用于生成一个滑动条，控制变量u从umin到umax以du等间距变化．本程序共有7个控制变量，分别是运动时间t2:{t2,0.01,4}，电荷质量m:{m,1,5,0.5}，电荷量q:{q,-8,8,1}，磁感应强度B:{B,-6,6}，发射速率v0:{v0,2,10}，发射角度θ:{θ,0,Pi}和发射位置x0:{x0,2,6}，通过调节滑动条，输入不同变量值，配置出粒子对应不同荷质比、磁感应强度、发射速度等参数的动力学微分方程组．
利用Mathematica软件中的NDSolve命令求微分方程组的数值解，将带电粒子运动的实时位置坐标储存在变量pos中，求解微分方程组程序如下：
{pos,{{points}}}=NDSolve[{m*x""[t]==q*B*y"[t],m*y""[t]==q*B*x"[t],x"[0] ==v0*Cos[θ],y"[0]==v0*Sin[θ],x[0]==x0,y[0]==0,WhenEvent[{y[t]<0,x[t]<0,y[t]>8,x[t]>8},{{x"[t],y"[t]}->{0,0},Sow[{x[t],y[t]}]}]},{x,y},{t,0,4}]//Reap;
Whenevent指定在NDSolve中，当方程组中触发了带电粒子运动到匀强磁场的边界条件时，产生一个使带电粒子速度为零的相关函数，视觉上形成了带电粒子打在匀强磁场边界上的效果，配合Reap和Sow[{x[t], y[t]}]命令，将带电粒子打在磁场边界的位置坐标储存在points中，使程序能提取坐标并使用图形命令Graphics画出碰撞点．储存在变量pos中的坐标输入至ParametricPlot命令，可以绘制出在有边界的匀强磁场中的带电粒子的运动轨迹，绘制粒子运动轨迹程序如下：
ParametricPlot[Evaluate[{x[t],y[t]}]/.pos,{t,0,4},PlotRange→{{-2,10},{-2,9}},Axes→False,PlotStyle→{Dashed,Pink},Axes→False];
将上述代码中的{t, 0, 4}改为{t, 0, t2}，t2在0.01 s到4 s内任意播放，就可以呈现出带电粒子在0到4秒内运动的动态过程，更有利于学生观察带电粒子的运动过程．同时为了模拟教材中的垂直平面的磁场方向“插入点出”的表达形式，在二维图形命令Graphics中使用了Table表格程序:
Table[Inset[Style[If[B>0,"×","·"],"Title",Bold,RGBColor[0,0,0,(1/6)Abs[B]],16],{i-0.5,j-0.5}],{i,8},{j,8}];
将“×”或“·”的磁场符号均匀分布在8×8的二维平面中，通过RGBColor颜色命令，用符号颜色透明度表示磁场大小，增强了程序的视觉效果，有利于学生直观感受磁场强度对于“磁偏转”现象的影响．并在图形命令中加入了箭头Arrow、插图Inset、格子Grid等图形命令，将发射速度与水平方向的夹角、轨迹半径、运动周期和圆心角这些数据显示在面板中，有助于学生发现和归纳带电粒子在匀强磁场中运动的规律．
2.3 程序外观展示
图3、图4对应着图1、图2的变量设置，分别模拟了正电粒子在垂直平面向外和垂直平面向里的磁场作用下的运动轨迹，通过点击播放按钮还可以展示带电粒子运动的动态过程，增强学生的体验感和互动感．程序将发射的速度和角度都显示在图像中，并且在表格内显示了轨道半径、周期、圆心角的数据．
图1 交互式程序界面1
图2 交互式程序界面2
图3 仿真实验结果1
图4 仿真实验结果2
如图1、图2所示，在变量的语句中，添加外观命令Apperance，可选择控件样式，本程序将数据统一显示在控件右侧，方便数据记录，并将运动时间设置为按钮样式，功能更加直观．使用者可拖动滑动条来调整变量的数值，也可以选中右侧数值处，输入可调节范围内的数值，设置完成后点击运动的播放按钮即可显示带电粒子在匀强磁场中的运动情况．
3.1 新课教学
在“带电粒子在匀强磁场中的运动”新课教授时，教师引导学生将“带电粒子在磁场中运动”的特点与“圆周运动”的速度和加速度特点类比后，认识带电粒子在匀强磁场中会做匀速圆周运动的运动学特征．根据新教材的指导，教师会采用“洛伦兹力演示仪”进行演示实验，通过调节磁感应强度或改变出射电子速度，观察电子运动轨迹的变化，带领学生探究带电粒子在磁场中的运动规律．但实际上，“洛伦兹力演示仪”在高中并不常见，更多的教师会用视频或动画的方式替代其教学功能．
首先，“洛伦兹力演示仪”采购单价较高，很多中学缺乏这种仪器．其次，该设备只能演示电子在固定方向磁场中的运动情况，并且不具备精确测量功能，教学用途较为单一，通常只用于演示实验．演示实验中教师操作仪器，将物理现象直接呈现给学生，虽然有效果直观，节省实验仪器，有利于降低成本，便于推广等优点，但是也存在着学生参与度低，缺乏动手实践过程，不利于发展学生创新和实践能力的缺点．
而基于Mathematica制作的教学程序，只需将程序打包，通过互联网即可共享给每一位教师和学生，解决了教学仪器不足的困难．并且程序的交互式功能允许学生配置不同参数，观察磁场强度、磁场方向、荷质比等不同因素对带电粒子运动轨迹的影响．学生能亲身感受到磁偏转现象中，“磁场强度越强，带电粒子越容易发生偏转”“粒子电荷量越大，越容易发生偏转”等规律，对“磁偏转”现象形成初步的感性认识．
3.2 仿真实验
在初步认识各种因素对“磁偏转”现象的影响后，要解决本节内容的难点问题：“带电粒子在有界磁场中运动轨迹”的规律．由于中学不具备该内容的实验教学条件，通常教师会采用直接教授“图像绘制规律”的教学方式，学生没有经过自己探索、体验和发现规律的过程，规律与认知结构之间只是简单的映射关系，学生不容易形成有意义学习，这不利于学生将新知识内化至自身原有的认知结构中，可能造成学生理解和运用知识解决问题等方面的困难．
而本程序能精确模拟不同初始条件下带电粒子在有界磁场中的运动情况，教师可运用其交互式操作功能开展虚拟仿真实验．学生通过调节荷质比、磁感应强度、出射速度等不同参数进行多次实验探究，观察不同条件下带电粒子运动至磁场边界的运动轨迹，从实践中获得丰富的直观经验，逐步发现带电粒子运动轨迹的几何特征．
如图5、图6、图7分别展示了带电粒子运动至磁场左侧边界、底部边界、右侧边界的轨迹情况．经过多次实验，教师带领学生反复认识带电粒子圆周运动中圆心角和速度偏转角的关系，学生不难从中归纳出“圆心角大小等于速度偏转角大小”的规律，结合数学几何知识，掌握确定带电粒子做匀速圆周运动的圆心以及运动轨迹绘制的方法，具备解决“带电粒子在有界磁场中运动”一类问题的关键能力．
图5 左侧边界
图6 底部边界
图7 右侧边界
3.3 习题训练
笔者引入一道教材中的例题，来展现本程序的习题教学功能．
【例题】如图8所示，一个质量为m、带负电荷粒子电荷量为q，不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限．已知OP=a，求：
图8 题图
(1)匀强磁场的磁感应强度的B的大小；
(2)带电粒子穿过第一象限所用的时间．
考点分析：本例题通过在有界磁场中带电粒子的运动考查学生对“磁偏转”现象以及规律的理解．需要学生通过物理思维分析已知条件，判断带电粒子偏转方向；
根据速度偏转角推断出圆周运动轨迹圆心角大小；
结合数学几何知识确定粒子圆周运动的圆心位置和半径大小，绘制出精确的带电粒子运动轨迹，再进行未知量的求解．
讲解过程：
师：各位同学阅读了题目中的已知条件，可以知道带电粒子会沿什么方向运动？
生：已知磁场方向垂直平面向外，带电粒子是负电荷，根据“左手定则”，可知粒子会沿逆时针方向运动．
师：大家的分析非常正确，题目已知粒子垂直于y轴射出第一象限，那么大家尝试绘制一下粒子的运动轨迹．
教师活动：调节交互式程序的参数，模拟出如图9符合题意的带电粒子运动情况，带领学生观看带电粒子动态运动过程，指导学生与Mathematica模拟的结果进行校对，修正自己绘制的图像．
图9 带电粒子运动轨迹
师：我们已经求得圆心角等于120°，带电粒子的运动时间t和周期T之间有怎样的关系？
设计意图：Mathematica交互式程序将习题中静态的物理现象动态地呈现于课堂之上，提高了教师习题教学的互动效能，动态的物理现象和教师的讲解刺激学生的视听觉，帮助学生建构正确的物理运动概念，进一步强化学生对物理知识的理解和运用，掌握带电粒子在磁场中运动的物理规律，实现从感性认识到理性认识的飞跃．
使用Mathematica软件制作的交互式程序，能有效解决现实“带电粒子在匀强磁场中运动”内容教学中实验资源不足的困难，并且在新课教学、仿真实验和习题训练等场景均有很好的教学价值．教师和学生使用交互式程序时，可以根据需要设置荷质比、磁场强度、发射速度等参数，既可以观察带电粒子的运动过程，感受各个参数对磁偏转现象的影响，也可以观察运动轨迹，总结运动轨迹的几何特点，归纳带电粒子在匀强磁场中的运动规律．学生经历完整的科学探究过程，既可以从中获得感性的认识，又可以增加理性的理解，提高物理学科核心素养．
基于Mathematica制作的仿真实验程序，融合了科学、技术、工程、艺术、数学和编程等学科思维，体现出跨学科能力的重要性，这与STEAM教育理念十分契合，并且将其应用于教学也符合教育部的“教育信息化”主张，因此Mathematica软件在中学理科教育中具有很高的应用价值．本程序将交互式功能应用于高中物理的重要教学内容——“带电粒子在匀强磁场中的运动”，模拟了带电粒子的运动过程，生动形象地展示了各种因素对于带电粒子运动轨迹的影响，增强了教学的情境性和互动性，有助于学生更深入理解其中的物理规律，促进教学目的的达成．
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