26．（2020·河北）如图 17-1 和图 17-2，在△ ABC 中，AB=AC，BC=8，tanC=34 .点 K 在 AC 边上，点 M、N 分别在 AB、BC 上，且 AM=CN=2，点 P 从点 M 出发沿折线 MB-BN 匀速移动，到达点 N 时停止；而点 Q 在 AC边上随 P 移动，且始终保持∠APQ=∠ B. （1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离； （2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将△ ABC 的面积分成上下 4:5 两部分时，求 MP 的长； （3）设点 P 移动的路程为 x，当 0≤x≤3 及 3≤x≤9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离（用含 x 的式子表示）； （4）在点 P 出设计并安装一扫描器，按定角∠ APQ 扫描△ APQ 区域（含边界），扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N共用时 36 秒，若 AK=94，请直接写出点 K 被扫描到的总时长. 图17-1NKQPMC BA
图17-2NKQPMCBA 解：（1）当 AP⊥BC 时，点 P 与点 A 的最短距离为 PA 的长，如图 1. ∵AB=AC，∴PC=12BC=4.在 Rt△PAC 中，tanC=34=4PA,∴PA=3；
图 1 （2）由（1），得 AB=AC=2 2AP CP =5. 如图 2，由∠B=∠APQ，易得∠APQ∽△ABC. ∴244 5APAB ,∴AP=103.∴MP=AP-AM=43.
图 2 （3）作 PH⊥AC 交直线 CA 于点 H. 当 0≤x≤3 时，如图 3.由∠B=∠APQ，得 PQ∥BC，∴∠AQP=∠C., ∴tan∠AQP=3=4PHQH，∴QH=43PH. 在 Rt△PQH 中，PQ=224 53 3PH PH PH.
由△APQ∽△ABC，得53=5 8PHAP,∴AP=2524PH. ∴x+2=2524PH.∴PH=24 4825 25x . 图 3 当 3≤x≤9 时，如图 4，同理可得 PC=53PH.∴x-（5-2）=8-53PH. ∴PH=3 335 5x .
图 4 （4）23.
23. （2019·河北）如图，△ ABC 和△ ADE 中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边 AD 与边 BC 交于点P(不与点 B，C 重合)，点 B、E 在 AD 异侧.I 为△ APC 的内心. (1)求证：∠BAD＝∠CAE； (2)设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； (3)当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出 m、n 的值.
第 23 题图
第 23 题备用图 【解题过程】（1）在△ ABC 和△ ADE 中， DE ＝ BCD ＝ B ∠AD ＝ AB， ∴△ ABC≌△ ADE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CAE. （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD=AD-AP=6-x. ∴当 AP 最小时，PD 最大，此时 AP⊥BC.如图所示：
第 23 题答图 1 又∵AB＝6，∠B＝30°， ∴x=AP=21AB=21×6=3， ∴最大PD =6-x=6-3=3. （3）∵AB⊥AC，∠B＝30°， ∴∠ACB=60°. ∵I 为△ APC 的内心， ∴∠ACI=21∠ACB=21×60°=30°. ∴∠PAC=2∠IAC=2（180°-30°-∠AIC）=300°-2∠AIC， ∴∠APC=∠B+∠BAP=30°+90°-∠PAC=120°-（300°-2∠AIC）=2∠AIC-180°， ∵30°＜∠APC＜120°， ∴30°＜2∠AIC-180°＜120°， 解得 105°＜∠AIC＜150°， ∴m=105，n=150. 23． （2018 河北省，23 ，9 ）如图，∠A＝∠B＝50°，P 为 AB 的中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合）的任意一点，连接 MP，并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N，设∠BPN＝a．
（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当 MN＝2BN 时，求 α 的度数；
（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出 α 的取值范围．
：
解：（1）∵P 为 AB 的中点，
∴AP＝BP．
又∵∠A＝∠B，∠PAM＝∠BPN，
∴△APM≌△BPN．
（2）∵△APM≌△BPN，
∴PM＝PN．
∵MN＝2BN，
∴BN＝PN．
∴ α ＝∠B＝50°．
（3）∵△BPN 的外心在该三角形的内部， P D B A αC M N 第 23 题图
∴△BPN 是锐角三角形．
∴0°＜ α ＜90°，0°＜180°－ α －50°＜90°．
∴40°＜ α ＜90°．
25.（2017·河北）平面内，如图，在 ABCD 中， 10 AB ， 15 AD ，4tan3A ．点 P 为 AD 边上任意一点，连接 PB ，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90 得到线段 PQ ．
(1)当 10 DPQ 时，求 APB 的大小； (2)当 tan :tan 3:2 ABP A 时，求点 Q 与点 B 间的距离(结果保留根号)； (3)若点 Q 恰好落在 ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积(结果保留 )．
【解析】
(2)如图 2，过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，连接 BQ. ∵tan∠ABP:tanA= : 3:2PH PHHB AH ，∴AH:HB=3:2. 而 AB=10，∴AH=6，HB=4. 在 Rt△PHA 中，PH=AH·tanA=8. ∴PQ=PB=2 2 2 28 4 4 5 PH HB . ∴在 Rt△PQB 中，QB= 2 PB= 4 10 .
21.（2016 河北，21，9 分）
如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上（F，C 之间不能直接测量），点 A，D 在 l 异侧，测得 AB=DE，AC=DF，BF=EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.
第 21 题图
22. （2015·河北）(本小题满分 10 分) 嘉淇同学要证明命“两相对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证. 已知：如图，在四边形 ABCD 中， BC＝AD， AB＝____. 求证：四边形 ABCD 是____四过形.
(1)在方框中填空，以补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明：
证明：
(3)用文宇叙述所证命题的逆命题为____________________. 【答案】
(1)CD；平行
23、（2014·河北）（本小题满分 11 分）如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100°得到△ADE，连接 BD，CE 交于点 F. （1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ACE 的度数； （3）求证：四边形 ABFE 是菱形.
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=160°，∴∠BFE=360°-∠DAE-∠ABD-∠AEC=160°.∴∠BAE=∠BFE. ∴四边形 ABEF 是平行四边形. ∵AB=AE，∴平行四边形 ABEF 是菱形． 23．（2012·河北）分 （本小题满分 9 分）如图 13 1 ，点 E 是线段 BC 的中点，分别以 B C ， 为直角顶点的EAB EDC △ 和△ 均是等腰直角三角形，且在 BC 的同侧． （1）
AE ED 和 的数量关系为___________， AE ED 和 的位置关系为___________； （2）在图 13 1 中，以点 E 为位似中心，作 EGF △ 与 EAB △ 位似，点 H 是 BC 所在直线上的一点，连接 GH HD ， ，分别得到了图 13 2 和图 13 3 ；
①在图 13 2 中，点 F 在 BE 上， EGF EAB △ 与△ 的相似比是 1 :2 ， H 是 EC 的中点. 求证：
. GH HD GH HD ，
②在图 13 3 中，点 F 在 BE 的延长线上， EGF EAB △ 与△ 的相似比是k :1 ，若 2 BC ，请直接写出 CH 的长为多少时，恰好使得 GH HD GH HD 且 （用含 k 的代数式表示）． 解：（1 ）如图 13 1 ， 点 E 是线段 BC 的中点， BE CE ，又 EAB EDC △ 和△ 均是等腰直角三角形，45 AEB DEC ， B C Rt ，于是 ( ) EAB EDC ASA △ △ ， AE ED 、 AE ED ；（2）
）①在图 13 2 中，通过证明 ( ) GFH HCD SAS △ △ ，即可得 GH HD GH HD ， ；②在图 13 3 中，EGF △ 与 EAB △ 的相似比是 k :1 ，又 2 BC ， 1 AB BE ， EF GF CH k 时，恰好使得GH HD GH HD 且 .