用直尺和圆规的一切作图归根到底都取决于：（1）求两圆的交点；（2）求一条直线与一个圆的交点；（3）求两直线的交点.？摇 以上三条，（1）自然可用圆规完成，关键在于（2）、（3）.？摇
读者可能不曾想到，那位南征北战、威名赫赫的法国皇帝拿破仑竟是一位数学爱好者，其几何学的造诣之深，在古今中外的帝王中堪称独步！
据说，拿破仑对于只用圆规的几何作图问题极感兴趣. 传闻他曾给当时的法国数学家出过一道题：仅用圆规不用直尺，请把已知的圆周四等分.
图1
这道题如果给定圆的圆心，就不难算. 图1表明了一种作法：
在已知圆O（r）上任取一点A，然后从A点出发，用圆规量半径的方法，依次在圆周上作出B、C、D三点，再作圆A（AC）交圆D（DB）于E点，最后，作圆A（OE）交已知圆O（r）于P、Q两点，则A、P、D、Q四点把圆O四等分.？摇
其实，读者不难算出：AE=AC=r，OE===r.
从而，A、P、D、Q确实为圆O的四等分点.
如果已知圆没有给出圆心，那就难办多了. 不过，只要你耐心读完本篇文章就知道这也能办到.？摇
1797年，意大利几何学家马施罗姆指出：任何一个能用直尺和圆规作出的几何图形都可以单独用圆规作出. 这实际上是说：“直尺是多余的！”的确，如果我们认为所求的直线只要有两点被确定就算得到了，那上面的说法是对的！
学过平面几何的读者想必都了解，用直尺和圆规的一切作图归根到底都取决于：（1）求两圆的交点；（2）求一条直线与一个圆的交点；（3）求两直线的交点.？摇
以上三条，（1）自然可用圆规完成，关键在于（2）、（3）.？摇为了弄清楚这一点，我们先介绍几种可单独用圆规作出的基础作图.
作图1：试单独使用圆规作点P关于直线AB的对称点P′.？摇
作法：如图2，以点A为圆心，AP长为半径作弧，然后以点B为圆心，BP长为半径作弧，则上述两弧有两个交点，其中一个为P，则另外一个便是我们所要求的对称点P′.？摇
图2
作图2：在圆心O已知的情况下，试单独使用圆规求圆O上的中点.？摇
作法：如图3，不难单独使用圆规作出？荀ABOC及？荀ABDO.？摇令OA=r，AB=m，则在？荀ABOC中，因为CB2+OA2=2（AB2+OB2），所以CB2+r2=2（m2+r2），CB2=2m2+r2.？摇
图3
现作圆C（CB）交圆D（DA）于E点，因为OE2=CE2-OC2=CB2-OC2，所以OE2=2m2+r2-m2=m2+r2.？摇
再作圆C（OE）交圆D（OE）于F点，因为OF2=CF2-OC2=OE2-OC2，所以OF2=m2+r2-m2=r2.？摇
从而，F为圆O上的点.？摇又根据圆的对称性知，F为的中点.？摇
作图3：试单独使用圆规求线段a、b、c的第四比例项x.
作法：我们试作其中最普遍的一种情况，其余均留给读者.？摇
如图4，取定一点O作圆O（a）、圆O（b），在圆O（a）上任取一点M，并求得另一点N，使弦MN=c.？摇任选一半径r，作圆M（r）和N（r）分别交圆O（b）于P、Q两点，并使OP与OQ中恰有一条位于∠MON内部.？摇易知△OMN∽△OPQ，从而OM∶OP=MN∶PQ，即a∶b=c∶x，也就是说弦PQ即为所求的第四比例项x.？摇
图4
现在，让我们回到单独使用圆规的另两个关键作图上来.？摇事实上，单用圆规求一直线与圆的交点，现在已经没有多大困难了.？摇
如图5，用基础作图1作已知圆O（r）的圆心O关于直线AB的对称点O′，则圆O（r）与圆O′（r）的交点P、Q即为所求直线AB与已知圆O（r）的交点.
图5
不过，有一种情况似乎例外，即直线AB恰过O点，此时基础作图1失效.？摇然而，我们可以如图6那样再利用基础作图2求出的中点P和Q.？摇不难明白，P、Q即为圆O与直线AB的交点，也就是说，我们已经解决了关键的作图（2）.？摇
图6
再看看关键作图（3），即如何单用圆规求两直线的交点.？摇实际上，我们可以把它归结为基础作图3.
图7
如图7，我们先按基础作图1作C、D关于直线AB的对称点C′、D′，然后再确定点E，使CC′D′E为平行四边形，这是单独用圆规所能够做到的.？摇很明显，D、D′、E三点共线.？摇
令CD与AB的交点为F，那么，我们现在的目的就是求出F点.？摇
因为D′F∥EC，所以DE∶DD′=DC∶DF，即DF=x为DE、DD′、DC的第四比例项，因而也能单独用圆规作出.？摇接下来是求圆D（x）和圆D′（x）的交点F，这已经是很容易的事了.？摇
至此，我们已经令人信服地证明了马施罗姆关于“直尺是多余的”结论！
最后，还要提到一段有趣的历史. 1928年左右，丹麦数学家海姆斯列夫的一个学生在哥本哈根的一个旧书摊上偶然发现了一本旧书的复制品《欧几里得作图》.？摇该书出版于1672年，作者是一位名不经传的人物G·莫尔. 令人惊异的是，这本书不仅包含了马施罗姆的结论，而且给出了一种不同的证明. 如果上述著作的年代没有判定错误的话，那么这一事实表明：圆规几何学的历史至少应当向前推移125年.
实战演练
1. 请你只用圆规在图8所示的圆中作出此圆的五等分点（保留作图痕迹）.
图8
2. 图9给定了两个点A、B，请你只用圆规作出点C，使得以A、B、C三点为顶点的三角形为等边三角形（保留作图痕迹）.
图9
3. 如图10，已知正方形ABCD及其对角线BD，请你只用圆规作出正方形AEFG，使得正方形AEFG的面积为正方形ABCD面积的一半（只用作出E、F、G三点）.
图10
4. 如图11，已知圆及圆外一点A，请你只用圆规作出圆上的B、C两点，使得A、B、C三点共线且AB=BC（只用作出B点）.
图11