张 玉
(常州市第五中学，江苏常州，213000)
2.1 数学概念的严谨性
数学作为一门科学最重要的一个特点是：数学的严谨性.数学的严谨性是指逻辑上要无懈可击，结论要十分确定，一般又称为逻辑严密性或严格性，结论确定性或可靠性.从数学发展的历史来看，数学的严谨性是相对的，例如，微积分刚刚创立时，逻辑上很不严密，但是这一数学概念是富有成果的，其获得了惊人的有效应用，直到后来经过数学家很长时间的努力，才使微积分建立了比较严格的理论基础.类似微积分这样的不断发展和完善的概念体系在数学的发展历程中还有很多.所以数学的严谨性也是相对的，它与数学发展的水平密切相关，并随着数学发展严谨的程度不断提高.关于数学的严谨性是相对的这一点，数学需要也不会停止自己的发展过程，怀尔德也提出了相似的观点.他在论数学发展的动力和规律时，提出了关于数学发展的23条规律，其中，第十五条，数学的不断进化伴随严密程度的提高.每一代数学家都会感到对先前几代人所作的隐藏的假设进行证明(或反驳)是必要的.上述都清楚地表明，数学是高度严谨性的，但是不是绝对严谨的，在数学中不存在绝对的东西，也表明数学具有无限的发展可能性，数学的严谨性是需要不断去追求和完善的，数学内部矛盾的出现恰恰为数学发展提供了新的契机.
2.2 数学概念的形式定义
通常，教科书的主要受众教师和学生普遍认可其所使用的教科书的权威性，不同版本的教科书对于同一内容的表述不同，对教师和学生的引导会不同，他们进行思考和推理的依据还是来源于其所使用的教科书，不同版本对同一内容的呈现不应该出现互相矛盾的情况和关于数学本质的不同，以下我们对四个版本的相关概念进行比较分析.
2.3 教科书比较研究与分析
表1 四个教科书版本的“指对幂”函数定义比较
表1，整理了四个版本的高中数学教科书中关于，幂函数，指数函数，对数函数的形式定义的内容，以下作比较分析.值得注意的是，湘教版对幂函数的定义与其他版本的定义有实质性的区别，只有湘教版中对于幂函数的定义要求α≠0，其余版本α可为任意常数，但是这并不构成数学内部或数学本质上的矛盾，对于特殊的指数α=0的情况，可以做出单独的不同的约定，这本身并不影响幂函数概念的严谨性.在α≠0的情况下也基本不存在对于幂函数概念界定的分歧.因为不同的幂函数的定义域不统一，幂的运算性质能否运用是一个相对复杂的问题，是否是同一函数还要取决于α的不同取值，后续这个问题可以解决.
3.1 新的指对数函数的定义
基于以上不同版本的比较分析，对于指对数函数的问题似乎解决了，使用不同版本的教科书的受众还是不可避免地存在分歧.如果能够构造出指对数函数的新的定义形式，将各个版本的指对数的定义统一起来，问题就被完全解决了.
3.2 新旧定义等价性的证明
现对问题作以下表述，条件P：f(x)=ax(a>0,a≠1)，条件q:f(x)是定义在实数集上的非常值连续函数，且满足f(x)·f(y)=f(x+y).以下证明P是q的充分必要条件.
充分性：若f(x)=ax，则f(x)·f(y)=ax·ay=ax+y=f(x+y)充分性得证.
必要性：① 对于等式f(x)·f(y)=f(x+y)，取x=1,y=0，则f(1)·f(0)=f(1+0)=f(1)，可以推出f(0)=1(若f(1)=0，则可以推出f(x)是常值函数，故舍去).
② 记f(1)=a，设x∈N，故f(x)=ax，对x∈N成立.
上述证明的思路是逐步将定义域步扩充，从正整数，到整数，到有理数，再到全体实数.以上完成了新的构造式定义与原有的形式定义的等价性的证明.
3.3 新旧定义的比较
各个版本的教科书中均以实际问题为情境，比如细胞分裂或碳十四衰变，从具体的问题情境中抽象出函数关系y=2x和y=0.999 879x，引导学生观察这一类函数的共同特征，进而给出指数函数的形式化定义.与本文所给出的构造化的定义在形式上有明显的区别，但在本质上是一致的.形式化的定义容易引起歧义，即本文开头所提及的一个问题，而新的构造式定义则避免了这种歧义.形式定义，是较简洁且抽象水平较低的，对于学生而与学生的认知基础距离很远，学生很难真正理解其意义，不符合高中学生的认知水平.
4.1 对教师教育教学的建议
教师在理解和教学形式化定义的概念时，有时过于强调“形式”，缺乏变通，缺少了对函数概念的本质分析与理解.解题教学中也面临类似的问题，过于强调形式化的解题步骤，常常要求学生按照固定的步骤进行，忽视了对于问题本质的分析与理解，缺乏解题思路的引导.教师在概念教学时更应该关注概念本质，不应过于死板的强调形式化的概念内容.
教师不仅是教科书的受众，也应该是教科书的积极研究者.从上述教材的比较分析也可以发现，尽管部分教师对于指对数函数的概念辨析存在分歧，但是如果教师能够对不同版本的教科书作比较研究分析，就能够从人教A版和人教B版中找到答案.一线的教育教学经验不应该使得教师的思维与视野越来越固化，成为思维定式，而应该用更开放的发展的甚至批判的眼光去看待教科书所呈现的教学内容.
4.2 对教科书编写的建议
教科书的编写应注重科学性和教学性结合，既要考虑数学概念的严谨性，也要考虑学生的可接受性.教科书中的指对数的形式化的定义容易引起歧义，给教育教学带来不必要的麻烦，应该更关注数学概念的本质，不能受限制于形式.数学概念是逐步发展的，要用发展的，理解的观点去看问题，全面地理解数学的本质.而不应该将教科书视作绝对的权威.教科书是有局限性的，它只能以确定的某一形式来呈现具体的内容，但是对同一问题，可以有不同的理解方式，不悖于数学的本质，不互相矛盾，都是可取的.
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