蔡照远，吴旭东
(同济大学 汽车学院，上海 201804)
气体箔片轴承是以气体作为润滑剂并采用箔片作为弹性支承元件的一种动压轴承，具有运转平稳，安全可靠等优点，目前已广泛应用于航空航天、低温制冷、空气循环等领域[1-4]。
气体箔片轴承-转子系统是一个耦合复杂的系统[5]，轴承承载特性将极大地影响转子的运转性能。承载特性主要包含静态承载特性和动态承载特性，静态承载特性往往表征了气膜力对转子的承载能力，动态承载特性则反映了气膜力在转子受到外界激励时保证转子稳定运转的能力。关于气体箔片轴承的静态承载特性进行了一定的试验研究[6-9]，但动态承载特性则难以通过试验进行研究，学者大多通过理论进行分析：文献[10-11]给出了气体箔片轴承的完全气弹耦合解，分析了轴承的静态承载特性、动态刚度和阻尼特性；
文献[12]通过迭代方法耦合求解了气体箔片轴承的气膜压力和气膜厚度，分析了两者在轴承周向上的分布特点，发现气膜力较大区域的箔片会发生凹陷变形；
文献[13]通过理论推导分析了气体箔片轴承的静、动态特性，并通过试验验证了其正确性；
文献[14]通过理论建模分析了滑移边界对气体箔片轴承气膜承载力的影响，发现箔片结构可以显著降低滑移效应对气膜承载力的影响；
文献[15]分析了润滑介质对气体箔片轴承静态承载分布特性的影响，与R134a介质相比，空气会使气膜承载能力更强。
上述理论均未考虑转子与轴承不对中的情况，即忽略了气体箔片轴承气膜厚度在轴向上的变化，故无法准确分析气体箔片轴承的动态承载特性。文献 [16-19]考虑了转子不对中的工况，但主要考虑转子二维偏心，部分文献考虑了转子三维偏心，但仅限于分析静态承载特性，转子实际运转状态是二维偏心和三维偏心的复合，气体箔片轴承较小的名义间隙将放大转子三维偏心的影响。鉴于此，通过引入2个偏心角来描述转子三维偏心状态，并建立模型分析三维偏心下气体箔片轴承的静、动态承载特性及轴承-转子系统的动力学特性。
1.1 流体润滑雷诺方程
气体箔片轴承结构如图1所示，由轴承壳、顶箔、波箔组成，润滑气膜产生于顶箔与转子之间的狭小间隙中。
1—转子；
2—顶箔；
3—轴承壳；
4—波箔。
可压缩气体润滑雷诺方程为
(1)
式中：p为气膜压力；
h为气膜厚度；
x为轴承周向坐标；
z为轴承轴向坐标；
μ为气体动力黏度；
U为轴颈转速；
t为时间。
转子偏心示意图如图2所示，任意点处的气膜厚度为
h=C0-ecosφ，
(2)
式中：C0为名义间隙；
e为偏心距；
φ为偏位角。
图2 转子偏心示意图
为简化运算，对以下参数进行量纲一化处理
(3)
式中：R为轴承半径；
X为量纲一的周向坐标；
L为轴承宽度；
Z为量纲一的轴向坐标；
pa为环境压力；
P为量纲一的气膜压力；
H为量纲一的气膜厚度；
ω为量纲一的轴颈转速；
T为量纲一的时间；
ε为转子偏心率。
将(3)式代入(1)式得到量纲一化的雷诺方程为
(4)
式中：Λ为轴承数。
量纲一的气膜厚度为
H=1-εcosφ。
(5)
1.2 转子三维偏心下的气膜厚度
转子三维偏心(转子绕轴颈轴线旋转，轴颈轴线与轴承轴线不平行的情况)示意图如图3所示，引入转子绕x，y轴的旋转角度θx，θy来描述转子的三维偏心状态。
(a) xOy平面 (b) yOz平面
假设转子无二维偏心，即偏心率ε=0，由二维偏心到三维偏心轴颈轴线坐标的变换矩阵为
(6)
由于C0一般为10～50 μm，相对于转子长度较小，故θx，θy为微小量，(6)式可化简为
(7)
假设转子无偏心，则转子轴线上任意点的坐标为(0,0,z1)，当转子三维偏心时，转子轴线上任意点的坐标为(z1θy,-z1θx,z1)，考虑转子偏心时，(5)式可转化为
H=1 +(εx+z1θy)sinφ-(εy+z1θx)cosφ，
(8)
式中：εx，εy为偏心率在x，y方向的的分量。
1.3 静态承载特性模型
求解静态承载特性时，气膜力的时变特性被忽略，(4)式中气膜力对时间的偏导数项为0。采用有限差分法求解雷诺方程，对气膜力的差分格式为
(9)
(10)
式中：Pi,j为将润滑气膜展开为平面并划分网格后，第(i,j)个节点上的气膜力，气膜厚度的差分格式与气膜力类似。
当考虑箔片变形时，波箔在气膜力作用下会发生变形，从而影响气膜厚度及气膜力分布，这是一个润滑气膜与箔片结构之间的流固耦合问题，此处对耦合箔片变形下的静态承载特性进行分析。箔片等效刚度经验公式为[20]
(11)
式中：Eb为箔片材料弹性模量；
tb为箔片厚度；
l为半波箔波纹长度；
ν为箔片材料泊松比。
此时，气体箔片轴承的气膜厚度应为由几何关系得到的刚性边界气膜厚度和由气膜力造成的箔片变形之和，即
H=Hg+Hδ,
(12)
式中:Hg为刚性边界的气膜厚度;Hδ为箔片变形量(每个气膜节点的箔片变形量可认为是该节点上的气膜力除以箔片等效刚度，然后再计算箔片变形量)。
1.4 动态承载特性模型
动态承载特性是了解气体箔片轴承-转子系统稳定性的重要基础，其刚度特性、阻尼特性是影响转子振动的关键因素，在此采用小扰动法计算动态承载特性。假设转子在转动时偏心率和偏位角存在扰动量ε0和θ0，气膜厚度和气膜力可表示为
H=H0+Hd=H0+Hd0eiΩT，
(13)
P=P0+Pd=P0+Pd0eiΩT，
(14)
式中：H0，P0分别为稳态条件的气膜厚度和气膜力；
Hd，Pd分别为气膜厚度扰动值和气膜力扰动值；
Hd0，Pd0分别为气膜厚度扰动幅值和气膜力扰动幅值；
Ω为量纲一的扰动频率。
将(13)，(14)式代入(4)式中，忽略高阶项，可得扰动条件下量纲一化的雷诺方程为
(15)
通过几何关系可得
Hd0=E0cosφ+Θ0ε0sinφ，
(16)
式中：E0为偏心率扰动量；
Θ0为偏位角扰动量。
将(16)式代入(15)式中，并使气膜力分别对偏心率和偏位角求导，得到气体箔片轴承的各向等效刚度系数和阻尼系数为
(17)
式中：Kxε，Kxθ，Kyε，Kyθ为量纲一的动态气膜等效刚度系数；
Dxε，Dxθ，Dyε，Dyθ为量纲一的动态气膜等效阻尼系数；
PE，PΘ为求解动态雷诺方程获得的气膜力偏导数解。
气体箔片轴承的静、动态承载特性最终会影响转子的运动，因此在研究气体箔片轴承性能的同时，有必要对其搭载的转子系统动力学进行研究。气体箔片轴承-转子系统如图4所示。
图4 气体箔片轴承-转子系统示意图
假设转子无质量偏心，且质心距两端轴承中心距离相等，则系统的转子动力学方程为
(18)
式中：m为转子质量；
l为转子长度；
lA，lB分别为转子中心距轴承A，B中心的距离；
xA，yA分别为转子在轴承A位置x，y方向的位移；
xB，yB分别为转子在轴承B位置x，y方向的位移；
g为重力加速度；
FAx，FAy为轴承A对转子的作用力在x，y方向的分量；
FBx，FBy为轴承B对转子的作用力在x，y方向的分量；
Iox,Ioy,Ioz分别为转子绕x，y，z轴的转动惯量。
以轴承A为例，轴承对转子的作用力可表示为
(19)
转子初始位置为
(20)
某气体箔片轴承的主要参数见表1。转子转速为30 000 r/min，转子量纲一的偏心率为0.3，转子绕x轴的偏心角为0.40°，润滑介质为空气。
表1 气体箔片轴承主要参数
3.1 静态承载特性
转子三维偏心下刚性边界气膜力的静态分布如图5所示：由于转子不对中，气膜厚度在轴向呈楔形分布，最小气膜厚度位于轴承端部,在该气膜厚度分布下气膜力峰值不再位于轴向中部，而是向最小气膜厚度位置偏移，从而增大了小间隙处气膜的承载力,并产生了使转子回正的力矩。
图5 三维偏心下刚性边界气膜力的静态分布
通过对气膜力和气膜厚度分别迭代计算，可以求解出耦合波箔变形的气膜力静态分布如图6所示：气膜厚度在轴向从两端到中间逐渐增大，这是因为轴承端部与外界连通，气膜力与大气压近似相等，箔片不会发生变形，但从端部往内气膜力增大,导致箔片变形，气膜厚度增大，气膜力峰值减小，但与图5相比，气膜承载区域增大，说明考虑箔片柔性后气膜的承载性能更好。
图6 三维偏心下耦合波箔变形时气膜力的静态分布
3.2 动态承载特性
将量纲一的动态气膜刚度系数、动态阻尼系数坐标转化到直角坐标系下，可以得到气膜动态刚度、动态阻尼与转速、偏心角的关系。转速对动态承载特性的影响如图7所示：气膜的各向等效刚度、等效阻尼均不接近于0，这是因为与二维偏心相比，三维偏心下气膜的承载区域不再位于同一个偏位角处，而呈现扭曲的承载区域，因此x，y方向的扰动都与气膜力扰动有关。
图7 转速对动态承载特性的影响
三维静态偏心下气膜的等效刚度、等效阻尼随偏心角θx，θy的变化趋势分别如图8和图9所示。
图8 偏心角θx对动态承载特性的影响
图9 偏心角θy对动态承载特性的影响
由图8可知：随偏心角θx增大，各向等效刚度近似呈指数增大，这是因为θx的增大使端部气膜厚度迅速减小，从而使刚度迅速增大。且θx的增大会使气膜承载区域扭曲，因此各向等效刚度均会随之变化。等效阻尼的变化趋势与等效刚度类似，其数值为负数的原因如前所述。
由图9可知：随偏心角θy增大，各向等效刚度均呈增大趋势，尤其是承载方向的主刚度，这是因为θy的增大进一步导致转子向承载方向倾斜，从而使气膜厚度进一步减小。其余各向等效刚度及阻尼的变化趋势同图8。
3.3 转子动力学分析
采用牛顿迭代法求解上述转子动力学方程，并在每步迭代求解中根据上步的转子位置重新求解动态承载特性，获得新的刚度、阻尼系数，完成动态承载特性与转子振动的耦合迭代求解，得到转子的运动轨迹如图10和图11所示。
图10 转子运动轨迹图(0～13.5s)
图11 转子运动轨迹图(6.0～13.5 s)
由图10和图11可知：1)转子在经历短暂的运动后，迅速到达平衡位置附近。2)在初始阶段轴承A,B位置转子轨迹不重合，这是由于转子在初始运转时存在三维偏心，当转子到达平衡位置附近时，轴承A,B处转子轨迹重合，表现出二维偏心，这是由于转子仅受自重的激励，且认为转子质心到轴承A,B中心的距离相等，转子未受到三维偏心的激励，转子稳定运行状态为二维偏心。此外，转子在到达平衡位置后，以低频、小振幅的振动形式稳定运转，这也反映了气体箔片轴承的良好支承特性。
通过引入2个偏心角描述转子三维偏心状态，对该状态下气体箔片轴承的静、动态承载特性进行分析，并建立了轴承-转子动力学模型得到了转子的运动轨迹，得出以下结论：
1)三维偏心下气体箔片轴承气膜力在轴向上向气膜厚度较小端发生偏移，周向上分布未受影响。考虑箔片柔性时，气膜厚度增大，在轴向上呈拱形分布，气膜力峰值减小，承载区域增大。
2)气膜力的各向等效刚度、等效阻尼随转速升高近似呈线性增大，随偏心角增大近似呈指数形式增大。由于承载方向为y方向，绕x轴偏心角对动态承载特性的影响比绕y轴偏心角的大。
3)由于给定了转子初始位置，转子最初运转时呈三维偏心，但由于仅考虑转子自重，转子稳定运转时呈二维偏心，且振幅小，频率低。
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