解丰铭， 温 馨
（辽宁石油化工大学， 辽宁 抚顺 113001）
随着学者们的努力探究，结构可靠度算法在不断的创新发展。响应面法作为最经典的代理模型法，以减少抽样次数、提高拟合效率、增加计算精度为目标，使用二次多项式作为回归拟合方程，具有较好效果。但是用于非线性程度较高的功能函数时，会产生结果不收敛的情况。Kriging 方法可以有效弥补上述不足，不但突破了经典插值和统计学的限制，综合考虑了变量的确定性和随机性，而且与经典响应面方法相比具有算法灵活、可获得待求点的无偏最优估计等优点[1]。
Kriging 思想最早是由南非的矿业工程师Krige提出的，随后一位法国数学家Matheron[2]对其成果进行理论系统化分析，提出一种插值外推理论。Giunta和Watson[3]用自变量测试比较了最小二乘法建立的二次多项式和Kriging 插值法建立的代理模型，结果后者更具灵活性和计算效率。2011 年陈志英等[4]将粒子群优化算法用于Kriging 建模，以其良好的群体搜索能力保证了相关参数的最优性。2016 年，黄晓旭[5]提出Kriging 模型代替结构功能函数，引入主动学习函数，在每次迭代中加入最佳样本点更新Kriging 模型，能够得到精度较高的可靠度结果。
样本点的选择对代理模型的精度有很大的影响，拉丁超立方抽样（LHS）由于全空间填充和非重叠采样特性成为最合适搭配Kriging 的抽样方法。
M 水平N 因子的LHS 构造方法：
1）对每个维度空间进行M 等分，形成区间：[0，1/M]，[1/M，2/M]，…[1-1/M，1]。
2）在随机变量的均值加减3 倍标准差范围内（也称3σ 准则）随机选取每个区域的样本点，得到x1（k）、x2（k），…，xM（k）。
3）依照维度选取分量随机配对，不考虑已选取过的分量，组成M 个N 维数据。
图1 为一个六水平二因子的拉丁超立方抽样概念图，可明显看出其优点：每个采样点的横纵网格都没有交叉重复，具有独立性、随机性和均匀性，可为后续近似模型拟合起到很好的铺垫作用。
Kriging 模型的数学表达式如下：
式中：p 为回归量的个数；
x 为抽样点，z（x）是随机过程Z（x）的模型。表达式整体由两部分组成，前半部分是线性回归模型，反映过程均值的变化，提供模拟的全局近似。回归量的选择对于模拟的精度不起决定性的作用，因此在大多数工程中为简化模型常取常量1[6]。后半部分，z（x）服从正态分布N（0，σ2）但不独立，其样本点之间的协方差非零且关系如下：
公式（2）中R（θ，ω，x）是一个空间相关函数，其中θ 是一个以高斯模型为基础的关键参数，ω 是模型的光滑程度参数。可整理为式（3）：
标准Kriging 模型空间相关函数为高斯模型如式（4）所示：
式中：d 是两数据间距量。利用已知样本点的空间函数响应值组成相关矩阵：
Kriging 模型的最佳线性无偏估计如式（6）所示：
式（6）的方差估计值可以由式（7）计算：
根据式（3）、式（6）、式（7）可知，矩阵R、估计因子β^与模型的估计方差都由参数θ 决定，基于最大似然估计理论，利用无约束优化方法最大化式（8）可得到最优θ 值。
Kriging 模型的建立问题最后变成了非线性无约束的优化问题。θ 值越接近最优值，模型的效果就会越好。在Matlab 软件中也可以通过Dace 工具箱建立简单的Kriging 模型。
粒子群优化算法（PSO）：一种全局寻优算法，与传统算法相比具有计算快、全局搜索能力强、受初始种群规模限制小等特点。
算法具体流程如下：初始化粒子的速度和位置、计算适应度、记录个体最优数值和群体历史最优值、更新速度和位置、检查是否满足条件，满足则输出，不满足则从第一步继续开始。
迭代过程的公式为：
式中：ω 为惯性权重；
ω×Vid表示粒子保持之前运动速度的趋势，即惯性；
C1、C2表示记忆参数；
r1、r2为随机数控制粒子速度在限制范围。Pid、Pgd为局部极值全局极值，x 表示位置坐标。
结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率，称为结构可靠度。可靠度的符号表示为‘β’，也叫做可靠度指标，是分析可靠性时的重要参数。可靠度的几何意义是在标准化正态空间中坐标原点到极限状态函数曲面的最短距离（也就是坐标原点到设计验算点的最短距离），其值越大结构越可靠。
编写Matlab 程序时需要将几何意义定为罚函数的一个约束条件，另外还要满足极限状态要求，即极限状态方程为0。罚函数可在求解最优化问题时对不满足约束点或企图逃离可行域点赋予一个很大的增量，其目的是更高效的区分可行与不可行值。
PSO 算法结合代理模型进行可靠性分析的基本思想是：
1）首先用LHD 的3σ 准则抽取样本点，记录样本和响应值。
2）通过Matlab 软件和上一步的数据拟合Kriging模型得到近似隐式的极限状态曲面。
3）利用寻优算法PSO 结合罚函数理论编程，寻找设计验算点。
图2 为Matlab 软件拟合的Kriging 模型，图3 为PSO 算法求解非线性等式约束的两个最优值（最短距离2.91 和极限方程为0），最后标准正态化得可靠度2.25，其他算法求解结果见下页表2。
表2 各计算方法结果对比
此题设计验算点附近的曲率较大，一般求解方法不收敛且需要多次计算。
对比于传统的Kriging 法和蒙特卡洛法，PSO-Kriging 无论是在计算效率还是精度上都要更加优秀。与寻优算法的结合使用让收敛效率大幅提高，不但可以明显减少计算次数，还能在极限状态方程非线性程度较高时保持准确性。
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