毛煜东王先征赵国晨于明志杨开敏
(山东建筑大学 热能工程学院，山东 济南 250101)
超快激光具有超极小的脉冲宽度(＜10 ps)，因此其峰值能量密度超极高，加工热区域极小，能在极短的时间内达到很大的能量，具备对材料的损坏值小、烧蚀阈值低等特点，在脆硬材料加工[1]、超低膨胀玻璃陶瓷微加工[2]、机械谐振器制造[3]等方面有着不可代替的优势。微/纳米尺度薄膜可以改变材料表面性能、减小摩擦和噪声等，已广泛应用于燃料电池[4]、光伏发电[5]、半导体晶体管、微电子器件等诸多领域。而将超快激光与微纳米尺度相结合，在微纳米电子器件的制造中将发挥重要的作用。基于超快激光制造的纳米尺度连接器[6]、超快激光制备仿生微纳米结构[7]将在微纳米制造业中发挥着越来越重要的作用。
目前，常用傅里叶定律描述宏观传热问题，然而其内涵传热过程中热流矢量和温度梯度是同时变化的，但是在超快激光加热[8-9]过程中两者并不是同时变化的，存在着一定的时间差(即弛豫时间)，这就导致傅里叶定律不能解决其中的超快速和超小尺寸的问题[10]。目前，在微观和介观传热问题中，热量以热波的形式传递，这与傅里叶结果存在一定差异，在超快速和超小尺寸方面这个差异还需继续研究，而采用分子层面的数值模拟方法可以有效地解决这个问题。分子层面的数值模拟方法主要包括分子动力学方法[11]和玻尔兹曼输运方程(Boltzmann Transport Equation， BTE)[12]。
BTE 在解决微观和介观层面的热输运问题中有着非常明显的优势[13]。但在BTE 中含有一个尚不能用解析方法求解的复杂碰撞积分项，因此只能采用数值模拟方法求解。目前常用的求解方法有蒙特卡洛方法[14]和格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann method，LBM)。由于蒙特卡洛法需要人为构建一个概率，对结果有很大的影响，而LBM 具有边界条件易于处理、物理图像清晰等诸多优点，尤其基于LBM 演化而来的格子Bhatnagar-Gross-Krook 模型(Lattice Bhatnagar-Gross-Krook， LBGK)近似替代了BTE 中复杂的碰撞积分项，在不考虑外力影响的情况下，简化了BTE 右端复杂的碰撞积分项[15]。由于LBGK 简化的碰撞积分项，大大降低了计算难度，提高了计算效率，在微/纳米尺度和不可压缩流体导热问题的研究中应用非常广泛，成为研究LBM 的主要模型。
文章采用D2Q5 的LBM 方法模拟超快扰动下纳米薄膜的二维问题，通过研究超快激光不同的照射情况，以此来研究超快激光加热纳米薄膜时薄膜内部的能量密度分布情况。
LBGK 模型的表达式由式(1)[15]表示为
式中e为分子速度分布函数；
r为空间位置矢量；
t为时间参数；
eeq为热力学平衡态时的速度分布函数；
v为热载子的群速度；
τ0为弛豫时间，即粒子两次碰撞所需要的时间间隔，表征粒子碰撞后达到平衡态的快慢程度。
1.1 采用D2Q5 物理模型的LBM 验证
采用LBM 方法模拟超快激光加热微纳米薄膜在一维上已经有了较为成熟的结果[16-17]，文章拟从一维推广到二维，探究在二维情况下激光加热纳米薄膜的变化。
为验证LBM 方法的有效性，建立一个简单的二维薄膜导热问题，在薄膜厚度方向的左侧加一个无量纲数为1 的热扰动，其控制方程由式(2)表示为
式中ei为能量密度；
x为薄膜厚度方向的位置参数；
y为薄膜径向方向的位置参数；
ei0为平衡态能量密度；
vi为声子群速度；
τ为声子弛豫时间。
考虑常温初始条件，做无量纲变换由式(3)～(6)表示为
式中x*为薄膜厚度方向无量纲位置参数；
y*为薄膜径向方向无量纲位置参数；
t*为无量纲时间参数；
e*为无量纲能量密度参数；
L为薄膜厚度方向的尺寸；
M为薄膜径向尺寸；
E1为初始时刻的能量密度；
T0为初始时刻的温度；
CV为硅的定容比热容。
用式(3)～(6)做无量纲变换后，边界条件由式(7)表示为
1.2 单束激光下D2Q5 物理模型推导
用LBM 中D2Q5 的物理模型模拟超快激光在纳米薄膜中的能量分布。考虑带内热源的二维热传导模型来模拟超快激光加热纳米薄膜导热问题，二维超快薄膜导热过程可以用声子能量密度表示的LBM 运输方程表示，其形式由式(8)表示为
式中S为能量吸收率，可由式(9)[18]表示为式中J为激光能量发射密度；
tp为激光脉冲的持续时间；
R是表面反射率；
r0是激光照射半径；
δ为激光穿透厚度；
v1＝-v2＝v3＝-v4＝l/τ为声子沿x轴正负方向和y轴正负方向的群速度，其中l是声子平均自由程。
将式(8)进行无量纲变化，由式(10)～(13)表示为
做无量纲变换后，式(8)方程形式可以表示为
为了得到控制方程的离散形式，将方程(14)～(18)中的变量由式(19)～(25)表示为
将式(19)～(25)代入公式(14)～(18)，忽略高阶项，由式(26)～(30)表示为
将式(26)～(30)进行整理，则主导方程可由式(31)～(35)表示为
式中W ＝Δt*＝Δx*/Kn ＝Δy*/Kn；
ξ＝L/δ；
ψ＝L/r0；
xj*＝j·Δx*；
yk*＝k·Δy*；
th*＝h·Δt*；
；
Kn为克努森数。ei，j，k，h*＝ei*(xj*，yk*，th*)(i ＝0，1，2，3，4；
j ＝1，2，…，N；
k＝1，2，…，N；
h ＝1，2，…，N)；
W、ξ、γ均为中间参数，无特殊含义。
1.3 两束激光问题的公式推导
关于两束激光的问题有两种情况，将两束激光分别打在薄膜两侧和将两束激光打在薄膜的同一侧。将两束激光分别打在薄膜两端其控制方程由式(36)～(38)表示为
将式(37)与(38)代入式(36)，可将控制方程由式(39)表示为
对式(39)进行离散求解，方法与前面相同，同时将两束激光打在薄膜的同一侧的控制方程不再赘述。
超快脉冲激光加热的硅膜采用以下参数[17]:体积热容CV为1.66×106J/(m3·K)，硅的声子平均自由程l为41 nm，声子弛豫时间τ为6.53 ps。持续时间tp＝0.65 ps，激光通量J为312 J/m2，穿透的光学深度δ为15.3 nm，激光的表面反射率R为0.93。
2.1 单束激光照射纳米薄膜
单侧超快激光加热薄膜时，薄膜内无量纲能量密度U*分布如图1 所示，y轴中心点处薄膜内无量纲能量密度分布如图2 所示。由图1 中可以看到，由于初始时刻激光照射在薄膜的厚度中间区域，在激光照射区域能量密度的快速升高(即温度快速提升)。随着激光照射，能量密度从照射点向两侧传播，在厚度方向传播速度比较快，而在径向方向传播速度则比较慢，中心位置由于是激光的照射位置所以能量密度很高。在厚度方向上能量密度从照射点向另一端传递，能量密度会逐渐降低；
在径向方向上由照射点向两边逐渐传递，能量密度也会逐渐降低。由图2 可知，在激光加热纳米薄膜过程中随着时间步数的推移能量密度在厚度方向上影响越来越深，但是能量密度的峰值逐渐降低。可以看出在时间步数为40 时，在薄膜厚度方向上能量密度影响深度在厚度方向约为0.7，此时的最高无量纲能量密度达到了0.96；
当时间步数为80 时，在薄膜厚度方向上能量密度的影响区域超过了一半，此时的最高能量密度降到了0.42；
当时间步数达到150 时，在薄膜厚度方向上能量密度的影响刚刚达到另一端，此时的最高能量密度降到了0.22；
当时间步数达到280 时，在薄膜另一端能量密度有较大的影响，此时的最高能量密度降到了0.12。因此，随着时间步数的增加，传播的深度逐渐增加，但是能量密度峰值却在逐渐降低。但当时间足够大时，薄膜内部趋于稳定，在薄膜厚度方向上能量密度趋于一致。
图1 单侧超快激光加热薄膜时薄膜内无量纲能量密度分布图
图2 单侧超快激光加热薄膜时，y 轴中心点处薄膜内无量纲能量密度分布图
2.2 两束激光分别照射薄膜两端
超快激光加热薄膜两侧时，薄膜内无量纲能量密度分布如图3 所示，y轴中心点处薄膜内无量纲能量密度分布如图4 所示。从图3 可以看出，由于超快激光薄膜两边同时加热，在初始时刻受超快激光的影响在两端加热区域能量密度的快速升高(即温度快速提升)，在厚度方向上能量密度从两端的照射点向内部传递，在径向方向上从照射点向两端逐渐传递。对比图3、4 可以看出，在激光加热纳米薄膜过程中随着时间步数的增加能量密度在厚度方向上影响越来越深，但是能量密度的大小逐渐降低，同时，由于在两端同时用超快激光加热，在中间会发生能量的聚集而产生能量的交汇，此时的能量密度要比单热源时的能量密度大。可以看出在时间步数在40 时，在薄膜厚度方向上由于两端产生的能量密度已经在中间区域交汇产生了影响，使得中间区域的能量密度增大，此时的最高能量密度达到了1；
当时间步数在80 时，在薄膜厚度方向上能量密度在中间产生的影响加大，但能量密度逐渐降低，此时的最高能量密度降到了0.42；
当时间步数达到150 时，在薄膜厚度方向上能量密度在中间的影响进一步加大，同时能量密度也逐步降低，此时的最高能量密度降到了0.22；
当时间步数达到280 时，在薄膜厚度方向上能量密度在中间的影响进一步加大，同时能量密度也逐步降低，此时的最高能量密度降到了0.18。从图3、4 中可以看到，随着时间步数的增加，对中间区域的影响逐步增加，与此同时中间区域的能量密度最高点能量密度在逐渐降低。当时间足够大时，能量密度趋于稳定，在激光照射点的厚度方向上能量密度趋于一致，此时再增加时间步数，薄膜内部无量纲能量密度整体下降，仍保持平衡。
图3 超快激光加热薄膜两侧时薄膜内无量纲能量密度分布图
图4 超快激光加热薄膜两侧时，y 轴中心点处薄膜内无量纲能量密度分布图
对比图2 和图4，激光热源的能量密度一样，所以在薄膜最左侧激光照射区域的无量纲能量密度一样，而在中间位置差异较大，这是由于两侧激光的交汇产生的能量密度造成的。薄膜两侧照射激光的情况下，中间位置产生的能量密度较高。在时间步数为40 时，两侧照射激光时，中间位置的无量纲能量密度约为0.18(图4)，而单束激光照射时，中间位置的无量纲能量密度还不到0.1(图2)；
时间步数280 时，两侧照射激光已经趋于平衡，单束激光照射还未平衡。两侧照射激光时，内部的无量纲能量密度更大一些，薄膜内部达到平衡的速度要更快一些。
2.3 双束激光照射同侧纳米薄膜
两束超快激光加热薄膜同一侧时，薄膜内无量纲能量密度分布如图5 所示，y轴中心点处薄膜内无量纲能量密度分布如图6 所示。由于激光在径向上传播较小，所以要想让同侧的两个激光产生交汇，需要将两束激光间的距离减少。从图5、6 中可以看出，由于在同一侧有两束超快激光薄膜同时加热，在初始时刻受超快激光的影响，在激光照射的加热区域能量密度快速升高(即温度快速提升)，在厚度方向上能量密度从两端的照射点向内部传递，在径向方向上从照射点向两端逐渐传递，厚度方向传播的的速度远远大于径向方向传播的速度。
对比图5、6 可以看出，在激光加热纳米薄膜过程中，随着时间步数的推移能量密度在厚度方向上影响越来越深，但是能量密度的大小逐渐降低。同时由于在同一端同时用两束超快激光加热，在中间会产生能量的聚集，产生能量的交汇，此时的能量密度要比单热源时的能量密度大。由于激光照射位置不在y轴中心点的位置，初始激光照射会产生影响。可以看出在时间步数在40 时，由于在一端使用两束激光同时加热纳米薄膜，两束激光的能量密度已经在中间区域交汇产生了影响，使得中间区域的能量密度增大，中间位置的无量纲能量密度的峰值为0.88，此时整个区域的最高能量密度约为1.4；
在中间位置的厚度方向上，由于两束激光交汇产生的能量密度的影响，无量纲厚度约为0.6；
当时间步数在80 时，由于两束激光在中间位置进一步交汇，在薄膜厚度方向上能量密度在中间产生的影响加大，中间位置的能量密度增大，但最高能量密度逐渐降低，中间位置的无量纲能量密度的峰值为0.54，此时整个区域的最高能量密度降到了0.6，在中间位置厚度方向上，两束激光交汇产生的能量密度的影响即将到达另一端。当时间步数达到150 时，由于两束激光在中间位置进一步交汇，在薄膜厚度方向上能量密度在中间的影响进一步加大，中间位置的能量密度增大，能量密度峰值逐步降低，中间位置的无量纲能量密度为0.35，此时的最高能量密度降到了0.35，可以看出激光照射的影响逐渐消失；
在中间位置厚度方向上，两束激光交汇产生的能量密度在薄膜另一端有了一些影响。当时间步数达到280 时，由于两束激光在中间位置进一步交汇，在薄膜厚度方向上，能量密度在中间的影响区域进一步加大，同时能量密度也逐步降低，在中间位置的无量纲能量密度为0.22，此时的最高能量密度降到了0.22，激光照射的影响已经消失；
在中间位置厚度方向上，由于两束激光交汇产生的能量密度的影响在薄膜另一端的位置有了明显的影响。
图5 两束超快激光加热薄膜同一侧时薄膜内无量纲能量密度分布图
从图6 中可以看到，随着时间步数的增加，两束激光在中间位置进一步交汇，两束激光对中间区域的影响逐步增加，与此同时中间区域的能量密度变大，最高能量密度逐渐降低。随着时间步数的增加，初始激光照射的影响逐步消失，中间位置由于激光交汇产生的能量密度在厚度方向上的影响也逐渐加深，最终可以在薄膜另一端产生明显的能量密度。
对比图6 和图2，在初始时刻，由于两束激光照射在中间位置的两侧，所以中间位置的能量密度要小于单束激光的情况， 此时两束激光照射(图6)在厚度方向的影响深度小于单束激光(图2)。随着时间步数的增加，由于两束激光的交汇，在中间位置的能量密度逐渐增大并超过单束激光的情况，在刚趋于平衡时，两束激光照射薄膜内部的无量纲能量密度较大。
图6 两束超快激光加热薄膜同一侧时，y 轴中心点处薄膜内无量纲能量密度分布图
基于格子玻尔兹曼输运方程中的采用D2Q5 的LBM 方法模拟超快扰动下纳米薄膜的二维问题，在激光不同情况的照射下分析了薄膜内部能量密度分布情况。主要结论如下:
(1)当单激光照射纳米薄膜时，在厚度方向的传播速度要大于径向方向的传播速度，在时间很短的时候，激光的能量密度影响区域有限，随着时间的推移，能量密度影响区域逐渐扩大，能量密度的峰值是随着时间的增加逐渐降低的。
(2)当两束超快激光分别在薄膜两侧时同时照射，在厚度方向上从两端向中间会有能量密度的传递，在中间区域产生能量交汇，使得中间区域的能量密度升高，随着时间的推移，中间区域的能量密度逐渐增大，能量密度的最大值逐渐降低。
(3)当两束超快激光同时照射在薄膜同一端时，由于两束激光产生了能量的交汇，会使两束激光中间部分的能量密度升高，随着时间的推移，中间位置由于两束激光交汇而产生的能量密度逐渐增大，能量密度的峰值逐渐减小，初始激光照射的影响逐渐消失，中间位置的能量密度其传播深度也会逐渐增大，对薄膜另一端的影响逐渐增大。
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