时帅帅, 刘立才, 杜传红
(1. 贵州工程应用技术学院信息工程学院，毕节 551700;2. 安顺学院电子信息工程学院，安顺 561000)
混沌系统具有伪随机性及对初值的敏感性，因此混沌系统在保密通信中具有较好的应用前景。目前典型混沌系统有Lorenz 混沌系统、Chen 混沌系统、L¨u 混沌系统等[1–3]。随着诸多学者对混沌系统的研究，不断发现了很多新的混沌系统，例如：周小勇[4]提出了一个新三维混沌系统模型，并对所提出模型进行了深入讨论；
张国山和牛弘[5]在Chen 混沌系统方程引入了一个乘积项，并讨论了乘积项系数变化对系统混沌状态的影响；
贾美美等[6]通过对数函数序列构造了一个新混沌系统，该系统可以产生多涡卷，并把该系统在微弱信号检测领域进行了应用；
鲜永菊等[7]根据Bao 系统进行构造，提出了一个新系统并证明了系统的混沌特性；
Dong 等[8]基于4 维Euler 方程构造了两个哈密顿混沌系统；
Can 等[9]构造了一种新的六项式三维统一混沌系统，并通过仿真证实了所提新系统对初值的敏感性；
许喆等[10]提出了一个新混沌系统，对系统参数的影响进行了重点分析并进行电路仿真验证；
Liu 等[11]提出了一种具有隐藏吸引子的4 维超混沌系统，对所提系统进行了动力学分析和熵分析；
Khan[12]提出了一个新分数阶混沌系统，并从两个分数算子Caputo-Fabrizio 和Atangana-Baleanu 导数的意义上分析新混沌系统的动态特性。新混沌系统的提出，扩充了混沌理论，为以后有关混沌系统的理论研究奠定了基础，混沌同步是混沌保密通信[13–15]的基础。因此，混沌系统同步控制理论也引起了广泛关注，例如：陈志盛等[16]研究了Liu 混沌系统的反馈同步控制方法；
Liu 等[17]利用Mittag-Leffler 稳定性实现了两个耗散混沌系统的自适应同步；
毛北行[18]通过滑模控制法，实现了分数阶超混沌金融系统的同步控制。
1.1 系统模型
2002 年，L¨u 等[19]提出一种统一混沌系统，系统模型如下
式中a ∈[0,1]是系统参数，该系统中参数a取不同值时，可为经典的Lorenz、Chen 或L¨u系统。
本文在统一混沌系统的基础上构造了一种新的混沌系统，其系统描述状态方程如下
其在a=18,b=5.2,c=13 时，系统呈现混沌状态，该系统和统一混沌系统形式相似但不属于统一混沌系统，与以往发现的混沌系统并不拓扑等价。
1.2 系统特性分析
1.2.1 耗散性
根据系统(2)对所提出的新混沌系统进行耗散性分析
又因c=13，故ΔVx ＜0，说明该系统是耗散的，同时以指数的形式收敛
即一个体积元在t时，收敛为
由式(5)可知，在t趋向于无穷大时，系统中的任一体积元将以e-ct的速率收敛为0，即新混沌系统的动力轨迹会确定于某一吸引子上。
1.2.2 对称性
新系统在变换(x,y,z)→(-x,-y,z)下具有不变性，因此该系统是关于z轴对称的。
1.2.3 平衡点及稳定性
令系统方程(2)左边等于0，
则系统的平衡点可求得
由于参数a、b、c均大于零，因此，系统(2)有三个平衡点，其Jacobi 矩阵为
则系统(2)在S0处Jacobi 矩阵J0为
根据特征值方程|λI-J0| = 0，可求出平衡点S0处特征值为λ1= 5.2,λ2=-9.1+17.6i,λ3=-9.1-17.6i，由该处平衡点特征值实部可知，该平衡点为指标1 鞍焦平衡点[20–21]。
系统(2)在S1处Jacobi 矩阵J1为
系统(2)在S2处Jacobi 矩阵J2为
同理，根据特征值方程|λI-Ji| = 0,i= 1,2，可求出平衡点S1、S2处特征值均为λ1=-13.4,λ2= 0.22+17.4i,λ3= 0.22-17.4i，由特征值实部可知，S1、S2处平衡点均为指标2 鞍焦平衡点[20–21]。
1.2.4 初值敏感性
针对系统(2)选择参数a=18,b=5.2,c=13，初始值为(x(0),y(0),z(0))，其中固定初始值y(0) = 1,z(0) = 6，分别在x(0) = 8,x(0) = 8.001,x(0) = 8.002 状态下进行数值仿真，通过仿真图1 可知，只改变较小的初始值，状态变量的动态轨迹在5 秒后将表现出较大差异，体现出混沌系统对初始值具有较好的敏感性。
图1 初值为(8,1,6)、(8.001,1,6)、(8.002,1,6)时，状态变量x、y、z 动态轨迹
1.2.5 分岔特性
根据系统方程(2)，固定参数a= 18,c= 13，取初值为(8,1,6)，采用局部最大值的方法，通过Matlab 仿真得到新系统在参数b变化情况下的分岔图，如图2 所示。从图2 中可以看出，该系统中存在分岔现象，并出现非混沌–混沌–非混沌–混沌状态交替的复杂现象。在同样参数下，该系统的Lyapunov 指数谱仿真图，如图3 所示。从图3 中也能看出，系统随着参数b的变化出现非混沌–混沌–非混沌–混沌的复杂交替状态，即当b ∈(4.4,4.9)为非混沌态，b ∈(4.9,5.5)为混沌态，b ∈(5.5,5.7)为非混沌态，b ∈(5.7,5.8)为混沌态。下面在固定参数a= 18,c= 13 的条件下，讨论该系统随参数b变化的系统特征。
图2 新混沌系统分岔图
图3 新混沌系统Lyapunov 指数谱
令系统参数a=18,c=13，若取参数b=4.55，通过图2 分岔图及图3 的Lyapunov指数谱可知，此时系统为非混沌态。对系统进行相图仿真，仿真图如图4 所示，通过仿真图可知在当前参数下该系统为周期态。
图4 a=18, c=13, b=4.55 时，x-y 及x-y-z 相图
令系统参数a=18,c=13，若取参数b=4.8，通过图2 分岔图及图3 的Lyapunov 指数谱可知，此时系统为非混沌态。系统进行相图仿真，仿真图如图5 所示，通过仿真图可知在当前参数下该系统为倍周期态。
图5 a=18, c=13, b=4.8 时，x-y 及x-y-z 相图
令系统参数a=18,c=13，若取参数b=5.2，通过图2 分岔图及图3 的Lyapunov 指数谱可知，此时系统应为混沌态。对系统进行相图仿真，仿真图如图6 所示，通过仿真图可知在当前参数下该系统为混沌态。
图6 a=18, c=13, b=5.2 时，x-y 及x-y-z 相图
令系统参数a=18,c=13，若取参数b=5.62，通过图2 分岔图及图3 的Lyapunov指数谱可知，此时系统应为非混沌态。对系统进行相图仿真，仿真图如图7 所示，通过仿真图可知在当前参数下该系统为周期态。
图7 a=18, c=13, b=5.62 时，x-y 及x-y-z 相图
令系统参数a=18,c=13，若取参数b=5.69，通过图2 分岔图及图3 的Lyapunov指数谱可知，此时系统应为非混沌态。对系统进行相图仿真，仿真图如图8 所示，通过仿真图可知在当前参数下该系统为倍周期态。
图8 a=18, c=13, b=5.69 时，x-y 及x-y-z 相图
令系统参数a=18,c=13，若取参数b=5.8，通过图2 分岔图及图3 的Lyapunov 指数谱可知，此时系统应为混沌态。对系统进行相图仿真，仿真图如图9 所示，通过仿真图可知在当前参数下该系统为混沌态。
图9 a=18, c=13, b=5.8 时，x-y 及x-y-z 相图
令系统参数a=18,c=13 的条件下，系统随参数b变化的Lyapunov 指数谱(LEs)，如表1 所示。
表1 系统随参数b 变化的情况
通过以上参数仿真可知，固定参数a= 18,c= 13 的情况下，系统随着参数b的变换出现周期–倍周期–混沌–周期–倍周期–混沌的状态转变，体现了该系统具有较为复杂的动力学特性。
1.3 电路仿真
为了验证该系统电路可实现性，用Multisim 进行电路仿真，仿真电路主要由运算放大器、模拟乘法器、线性电阻及电容组成。通过Multisim 仿真来证实所提出的混沌系统是物理可实现的。
令新系统中
则系统方程(2)可变为
通过相图观察可知，x、y、z取值范围较大，为了使电路中元器件工作在正常范围内，须对方程中各状态变量做适当范围的调整，即把各状态变量扩大100 倍，调整后的公式如下
为了使电路参数更好地匹配系统，将时间标度设置为τ0，并τ0= 10，然后执行时间转换，新的时间变量为τ，并且τ=τ0τ。因此，式(13)可以变换为
根据式(14)，可设计系统电路方程为
其中g为乘法器增益。令R3=R4=R7=R8=R12=R13=10 kΩ，则
即
令C1=C2=C3=1μF，乘法器增益g=0.1，选择参数a=18,b=5.2,c=13，则电路中电阻
R1=R10=19.23 kΩ,R2=R5=5.55 kΩ,R6=7.69 kΩ,R9=R11=100 Ω,
该系统电路图如图10 所示。通过仿真，相图如图11 所示。通过仿真图可知，Multisim 电路仿真和Matlab 数值仿真一致，证实了该系统的物理可实现性。
图10 系统电路图
图11 电路仿真x-y 及x-z 相图
本节以新混沌系统和Chen 混沌系统分别作为响应系统和驱动系统，实现两系统的错位投影同步。
驱动系统为
其中k=35,r=28,w=3 时，系统呈现混沌状态。
响应系统为
其中ui(i=1,2,3)为系统控制器，选择参数a=18,b=5.2,c=13。误差系统定义为
其中λi为投影比例因子，故有
将式(16)和式(17)代入式(19)中，得到误差系统的动力学方程
设计合适的控制器，如下
将式(21)代入式(20)中，得到
此时，新混沌系统和Chen 混沌系统的同步分析问题转化为对式(22)进行稳定性分析的问题，下面构造Lyapunov 函数对其稳定性进行分析。构造Lyapunov 函数为
则有
其中
因为使用的系统中参数b、c、k取值都为正值，则可判断P为负定的，即有
因此，在所设计式(21)所示的控制器的作用下，理论上实现了新混沌系统和Chen 混沌系统的错位投影同步。
为了证实理论分析的有效性，下面通过Matlab 仿真对上述而分析进行验证。设响应系统初值为(8,1,6)，驱动系统初始值为(1,2,3)，此时投影比例因子取值为(0.5,1,2)，其误差系统的误差曲线，如图12 所示。
图12 错位投影同步误差曲线
新混沌系统与Chen 混沌系统错位同步过程中时序图，如图13 所示。通过时序过程图可更加直观的观察出两个系统的同步过程。
图13 错位投影同步时域曲线
从图中我们可以看出，e1=y1-x2,e2=y2-x3,e3=y3-x1轨迹逐渐趋于同步，三个误差系统曲线随时间演化皆趋近零，最后各误差曲线都等于零。因此，在控制器的作用下，实现了两个系统的错位投影同步。
若需加密传输的二进制信息为st=[1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1]，在第2 节同步控制的基础上对驱动系统进行参数调制，令驱动系统参数r= 28-0.1×st(i)(i=1,2,···,20)，在驱动系统参数调制及同步控制器的作用下，可以实现新混沌系统和Chen混沌系统的数字信息加密传输，如图14 至图17 所示。
图14 传输二进制数字信息
图15 加密传输
图16 同步误差
图17 解密信息
本文提出了一个新混沌系统，所提新系统和统一混沌系统形式相似但不属于统一混沌系统，与以往发现的混沌系统并不拓扑等价。通过Matlab 对该系统进行分析，发现该系统随着参数的改变会出现周期–倍周期–混沌–周期–倍周期–混沌交替现象，具有较复杂的动力学特性及对初值的敏感性，通过Multisim 电路仿真证实了该系统是物理可实现的。针对提出的新混沌系统，设计了错位投影同步控制器，进行新系统与Chen 混沌系统同步控制，理论分析和数值仿真都证实了控制器是有效的，并在控制器作用下实现了数字信息的加密传输。
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