廖明艳，韦崇裕
（海南省昌江黎族自治县昌江中学；
海南澄迈思源高级中学）
本文以2021年高考数学浙江卷第17题为例，通过师生共同探究题目的一题多解，让学生获得价值感，回归数学本质，指导、反思向量学习.
对于复习课教学，教师要高瞻远瞩、运筹帷幄，把多个知识点串联起来，带领学生品“精髓”之题，进而有效挖掘题目的深层次价值，提高复习效率.
题目已知平面向量a，b，c(c≠0)满足|a|=1，|b|=2，a·b=0，(a-b)·c=0.记平面向量d在a，b方向上的投影分别为x，y，d-a在c方向上的投影为z，则x2+y2+z2的最小值为_______.
此题纵向把多个向量知识点串联起来，横向与函数、不等式和空间几何等知识点交会，对于考查学生的理性思维和科学精神有着重要的参考价值.
视角1：品定义内涵，悟数形思想.
教师引导学生根据向量的运算和向量投影作图分析，得到解法1.
解法1：如图1，设，垂足为点H.过点M分别作直线OA，OB，OC，AB的垂线，垂足分别为点E，F，G，D，则有向线段OE，OF分别是向量d在a，b方向上的投影，线段HG为向量d-a在c方向上的投影.
显然，DM=HG.
则x2+y2+z2=OE2+OF2+MD2.
结合图1，易知
所以x2+y2+z2的最小值为
【评析】向量的运算，强调其形，利用向量的几何特征，可以直观、便捷地解决问题.同时，突出向量的形，也是为了更好地为体现数的内涵，使得数形之间自然转化，问题解决水到渠成.
视角2：品消参法，悟降维思想.
思路1清晰、直观，但是要求学生熟练掌握向量的运算方法，同时对学生的作图能力也有较高要求，需要学生有扎实的基本功作为基础.
分析题目的目标式，其中有多个变量，联想解多元方程组的基本方法——消元法，想到可以用相同的思路求解此题.为此，可以考虑将条件代数化.
解法2：依据已知条件，可以设a=(1，0)，b=(0，2)，c=(m，n).
【评析】此处在消元化简时，先以z为主元进行配方，然后利用局部“放缩”消掉z，最后得到关于x的二次函数轻松得解.
视角3：品向量方法，悟转化思想.
解法2思路清晰自然，但是对学生的计算能力要求较高.为了降低运算难度，不妨引导学生联想平面向量的数量积性质：m·n≤|m|·|n|.据此确定此题构造向量的方法并求解.
解法3：前同解法2.
【评析】解法3非常简洁，让学生领略到了向量作为工具在解题中的作用，深刻体会到了向量是联系几何与代数的重要工具.除此之外，向量在刻画几何中的角度、长度等方面也具有独特的优越性.
视角4：品柯西不等式，化繁为简.
课堂上也有学生想到用柯西不等式求解，于是得到如下解法.
解法4：前同解法2.
【评析】解法4利用柯西不等式快速求解了问题，避免了烦琐的计算过程，但是对学生的思维能力有较高要求.除了直接运用柯西不等式外，我们还可以利用柯西不等式的变式，对求解目标进行如下转化：.取等条件和解法2相同.
视角5：品解析法，悟类比思想.
解法5：前同解法2.
取等条件与解法2相同.
【评析】此处联想到式子蕴含的几何特征进行局部放缩，最后得到关于z的简单二次三项式求解问题.
基于此，教师提出如下问题，引导学生类比平面解析几何，继续探究解决问题的方法.
问题：类比二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)表示一条直线，思考三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0)是否可以表示为空间中的平面方程？
学生在教师的引导下，通过联想类比，得到解法6.
解法6：前同解法2.
即(x2+y2+z2)min就是三棱锥O-ABC高的平方.
利用等体积法，易求三棱锥O-ABC的高为
基于上述解法，教师顺势进一步引导学生类比空间中点到平面的距离公式进行求解.在平面解析几何中，点P(x，y)到直线l：Ax+By+C=0的距离为；
类比到空间，可以得点P(x，y，z) 到平面Ω：Ax+By+Cz+D=0的距离为.于是引导学生将目标问题转化为原点O(0，0，0)与平面内任意点P(x，y，z)距离的平方.于是得到解法7.
【评析】通过分析已知和目标的几何背景，利用坐标法将代数和几何联系起来，使问题变得直观化、具体化.
在完成解题探究后，教师继续引导学生深度思考：解法6和解法7虽然简洁明了，但是要如何确定取得最小值时x，y，z的值？以实现学生对问题本质的深度思考.
1.典例解析，引导为主
在课堂教学过程中，如何引导学生通过思考和实践形成技能、发展思维、实现深度学习是教师需要关注的重点问题.事实上，对于解题教学，只有师生共同探究，产生思想上的共鸣，百花齐放，激发学生深度学习的潜能，才能切实实现解题教学的价值.
2.淡化技巧，注重思维
以上解题视角各有侧重，层次分明，互为补充.条件限制下多元变量最值问题的求解是一类具有挑战性的数学问题.学生解决此类问题的潜意识就是通过代数方法消参，达到化繁为简、化生为熟的目的.另外，教师要注重引导学生把握向量“形”的几何特征，注重基本方法在教学中的渗透，培养学生处理复杂问题的策略意识.
3.课后总结，反馈为先
在完成对题目解法的多角度探究之后，教师需要了解学生对问题的理解程度，把握学生是否掌握了问题的内涵.因此，学生的总结、反馈显得非常关键.对此，教师可以让学生以作业的形式反馈课堂学习效果，教师在批改作业的过程中总结学生解题过程中存在的问题，再把问题反馈给学生，让学生重新回归问题情境，提炼解题感悟.学生反馈的问题，为教师及时调整教学方向提供了依据，有利于教师实施更加精准、个性化的课堂教学.
在解题教学过程中，教师要以数学核心素养为导向，通过师生“精”品、“细”品典型例题，对同一数学问题，引导学生从多个角度进行深度思考、探究，让学生领悟到丰富多彩的解题思路，让学生在学习过程中“品”出数学味道，实现用数学方式育人的目的.
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