史国军,华 震,赵 忖
(1.黑龙江八一农垦大学信息与电气工程学院,黑龙江 大庆 163319；
2.国网哈尔滨供电公司信息通信分公司(数据中心),黑龙江 哈尔滨 150000；
3.东北石油大学秦皇岛校区,河北 秦皇岛 066004)
纳米技术已在生物检测、制造业、光学、化学、医学以及国防等领域得到广泛应用,纳米级位移测量技术则影响着超精密加工发展水平[1-2]。激光自混合干涉测量装置具有结构紧凑、易准直等特点,已广泛应用于测量绝对距离、速度、位移和流体流动等[3-5]。高分辨率激光自混合测量系统的研究,进一步推动了激光自混合干涉技术在非接触纳米测量领域的应用[6-7]。光纤法布里-珀罗(Fabry-Pérot,F-P)干涉仪通过将干涉条纹的时间运动转换为圆周运动,使得光学长度的变化测量精度得到了提高[8]。使用线性调频转发器对光束进行相位调制,获得稳定的拍频信号,实现了纳米级位移测量[9]。光纤F-P立体棱镜腔的构造,进一步提高了位移测量的精度[10]。单计量光栅位移测试系统,简化了实现高倍数光学细分手段,采用一种新型的等腰闪耀光栅用于对光栅系统的设计和制作,同时通过对莫尔条纹的高速高精度处理来提高纳米位移测量的精度[11]。利用环形器的特性,实现两路信号的独立采集,并根据两路信号的相位关系,解调出高精度的纳米位移,构造了一种用于测量纳米位移的光纤差动干涉仪[12]。
在上述诸多测量仪器和方法基础上,为了在精密测量中获取更高的分辨率,拓展测量范围,本文从理论上分析了光纤F-P腔干涉信号二倍次方与分辨率的关系,给出了有效测量时待测物体振幅与激光波长的关系,通过多次希尔伯特变换重构了待测物体的位移,实现了高精度、高分辨率、宽范围的纳米级位移测量。
光纤F-P腔是由两个平行镜面构成,其原理如图1所示。
图1 F-P干涉原理图
根据光波在镜腔传播原理,光纤波在F-P腔内干涉导致相位滞后,数学描述为:
φ(t)=φ1-φ2=4πnL(t)cosθ/λ
(1)
式中,φ1和φ2是两个镜面对应的滞后相位;n为镜面之间介质的折射率;L(t)是镜面间的距离;θ是入射角;λ为激光波长。
当腔内为空气(n=1)且入射光平行时,θ=0,故:
φ(t)=4πL(t)/λ
(2)
由式(2)可知待测物体的位移对应着光纤F-P腔干涉相位的变化。
为了进一步分析相位变化,对原始信号相移采用多次希尔伯特变换[13],一次希尔伯特变换实现π/2的相移,三次希尔伯特变换实现3π/2的相移,数学上等价于(-π/2)相移。输入一个正弦信号,通过希尔伯特变换可得到余弦信号,进而得到tan[φ(t)],然后通过相位展开得到φ(t)。
测量物体位移的激光在光纤F-P腔干涉后,输出功率P为:
P=cos(4πL(t)/λ)
(3)
对光纤F-P腔干涉功率做二次方运算,得到:
P2=1/2cos(8πL(t)/λ)+1/2
(4)
式(4)的第一部分描述了光纤F-P腔干涉功率二次方运算后的条纹状况。对于余弦函数,如果待测物体的最小位移能引起一个条纹变化,设为ΔL,则由式(4)可得相位变化量Δφ为:
(5)
由式(5)可得ΔL=λ/4。此时,条纹干涉分辨率为λ/4。
对光纤F-P腔干涉功率做四次方运算,得:
(6)
式(6)和式(4)做差,可得:
(7)
消除式(7)中常数项,记为:
(8)
同理可得:
(9)
(10)
(11)
n=1,2,3,…
(12)
(13)
(14)
由式(14)可知:
ΔL=λ/2n+3(n=1,2,3,…)
(15)
此时的干涉条纹的分辨率为λ/2n+3。
对上述算法进行数值模拟,首先分析待测物体振幅大于激光的半波长情况,选择激光波长为1550 nm,待测物体振动频率为80 Hz,零初始相位,振幅为775 nm,采样频率200 kHz,采样点5000。数值模拟结果如图2所示。
图2 待测物体振幅大于激光半波长仿真图
图2(a)为待测物体振动的余弦信号,振幅为775 nm。初始干涉条纹的两个反转点之间的数量是1条,如图2(b)所示。对功率信号做二次方运算后,两个反转点之间的干涉条纹是2条,如图2(c)所示,此时光纤F-P干涉条纹的条纹精度提高到λ/4。依此类推,图2(d)～图2(f)中两个翻转点之间的干涉条纹数量分别是4条、8条、16条,即干涉条纹精度进一步提高到了λ/8、λ/16和λ/32,与理论分析一致。
上述模拟分析的前提是待测物体振幅大于输入激光的半波长,因为大于激光半波长产生干涉后可以出现完整的F-P干涉条纹。接下来改变待测物体振幅,保持其他参数不变,分析干涉条纹变化情况。
数值模拟物体的振幅为500 nm(λ/4<500 nm<λ/2),振动频率仍为80 Hz,零初始相位,采样频率200 kHz,采样点为5000。模拟结果如图3所示。对应图3(a)的初始信号,图3(b)在两个翻转点之间不存在一个完整的干涉条纹。在图3(c)中,即功率经过二次方运算后,两个反转点之间则出现了一个完整的干涉条纹。在此基础上,采用多次希尔伯特变换方法,可重构出待测物体振动信号。
图3 振幅为500 nm仿真图
继续降低待测物体振幅至200 nm(λ/8<500 nm<λ/4),振动频率仍为80 Hz,零初始相位,采样频率200 kHz,采样点5000。模拟结果如图4所示。对应图4(a)的初始信号,图3(b)、(c)均未在两个翻转点之间出现完整的干涉条纹。直至图3(d),出现D0后,两个反转点之间才出现了一个完整的干涉条纹,此时的干涉条纹的分辨率为λ/8。
图4 振幅为200 nm仿真图
同理,进一步降低待测物体振幅,数值模拟结果为:待测物体振幅为100 nm(λ/16<500 nm<λ/8)时,出现D1后,两个反转点之间方能出现了一个完整的干涉条纹,此时的干涉条纹的分辨率为λ/16；
待测物体振幅为50 nm时,干涉条纹的分辨率可达λ/32。随着功率二倍次方的提高,测量分辨率可进一步提高。
为了模拟分析待测物体振动信号重构精度,选取振幅为387.5 nm,其余参数不变,模拟仿真结果如5所示。图5(a)是待测物体振动的初始干涉信号,由于振动物体的振幅387.5 nm等于λ/4,所以初始干涉条纹图形中看不到一个完整的干涉条纹。图5(b)系功率信号做二次方运算后所得干涉条纹,此时条纹分辨率为λ/4,可见两个翻转点之间存在一个完整的干涉条纹。图5(c)中灰色线条为功率信号做四次方运算后所得干涉条纹,黑色线条为其经过多重希尔伯特变换后的信号。图5(d)则为初始振动信号与重构信号,灰色线为待测物体信号,黑色线为重构信号。图5(e)示出了原始与重构信号的误差,最大为振幅的0.18倍。
图5 振幅为387.5 nm信号重构仿真图
光纤F-P腔干涉纳米位移实验如图6所示。激光由DFB发出,波长为1550 nm经过耦合器的一个端口照射在一面镜子上,经过另一端口照射在外置PD,用于采集干涉信号。为了利用F-P腔干涉测量物体位移,将镜子放在压电陶瓷器(PZT)上并随之振动,通过数据采集模块(USB-4431,NI)获取电压信号,最终送入PC处理。
控制PZT的运动频率2 Hz,振幅为387.5 nm(λ/4),采样频率为50 kHz,光纤F-P腔干涉信号如图7所示。由于待测物体振幅小于λ/2,故看不到完整的干涉条纹。
图7 光纤F-P腔干涉振幅为387.5nm信号初始波形图
对信号做二倍次方运算,其干涉条纹分辨率提高一倍,达到λ/4,而振动物体的振幅也是λ/4,故此时的光纤F-P腔干涉图形呈现出一个完整的干涉条纹,如图8所示。
图8 光纤F-P腔干涉振幅为387.5nm信号经过二倍次方运算后的波形图
获取完整的干涉条纹后,经过滤波,再采用多重希尔伯特变换,即可重构出此时待测物体的位移,如图9所示。其中灰色线是PZT运动的信号图形,黑色线是重构出的振动物体的运动图形,其误差示于图10,最大误差为振幅的0.26倍。因实验时存在干扰,故该误差高于数值模拟的误差。另外,基于光纤F-P腔干涉信号做二倍次方处理后,扰动信号也将成二倍次方指数增加,从而造成干涉条纹的不稳定,甚至严重失真。所以在进行实验时,应尽可能避免干扰。
图9 振幅为387.5 nm待测物体位移及其重构图
图10 振幅为387.5 nm振动物体重构误差图
(1)基于光纤F-P腔干涉信号的二倍次方运算和多次希尔伯特变换,实现了纳米位移高分辨率测量,分辨率随着二倍次方增长而提高。
(2)该方法突破了待测物体振幅大于激光半波长约束,在待测物体振幅小于激光半波长时,根据二者关系选取具体的二倍次方数值,即可获得完整的干涉条纹,拓展了测量范围。
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