张祖坚，郭 辉，王晓玮，袁 涛，孙 裴
(上海工程技术大学机械与汽车工程学院，上海 201620)
机械超材料是一种人工周期性复合材料，在其带隙范围内可有效抑制弹性波的传播，被广泛应用于减振降噪[1-2]、超分辨率成像[3]、波滤波导[4]、水声通信[5]等方面。
经研究发现，弹性波带隙形成遵循Bragg散射机理[6-7]和局域共振机理[8]。随着研究的深入，超材料结构由经典的杆、板、体等拓展到多孔结构。如Yao等[9]设计了一种周期性“框架-弹簧-质量”系统，即典型的局域共振单元，该结构可用于制作隔振板。Wang等[10-11]研究了不同孔型的声子晶体带隙特性，其中“十”字孔结构的二维声子晶体具有多个完全带隙。Krushynska等[12]设计的由单一材料组成的具有准共振Bragg带隙超材料，其带隙宽度和位置均能保持稳定。而Tian等[13]在相互正交的矩形穿孔板中加入了4个螺旋孔，使得该结构可同时打开Bragg和局域共振带隙。
为适应各类复杂场景应用需求，研究人员一直致力于探索超材料带隙的调控方法，如改变原胞结构几何参数、对其拓扑优化以及引入层级结构等以调控超材料带隙位置、宽度等，但至今仍存在诸多挑战。因此，Sun等[14-15]采用改进的遗传算法优化了蜂窝结构中的材料分布，可有效拓宽带隙宽度和调控带隙中心频率位置。Sepehri等[16]设计了蛛网和雪花状的层级结构，可实现对六角形和三角形超材料局域共振带隙的调控。Miniaci等[17]设计了轮辐层级结构和十字形层级多孔超材料结构，发现层级结构在明显减小整体结构重量的同时，可额外产生更低频率的带隙。Billon等[18]通过在层级矩形板中嵌入穿孔结构，并拓扑形成一种新型超材料，在该结构产生较宽带隙的同时，带隙向低频范围移动；
Xu等[19]设计了包含局域共振单元的层级超材料结构，该结构可将各带隙范围的弹性波有效衰减。
然而，尽管上述带隙调控手段是有效的，但忽略了超材料结构在实际应用时的受载情况，仅通过引入层级的方式设计超材料结构仍存在一定局限性。因此，Bertoldi等[20-22]通过对其制作的超材料结构施加外部载荷诱导出多种模式的屈曲变形，从而改变该结构的带隙特性，这为弹性波调控提供了新的思路。Shim等[23-24]针对4种周期性多孔平面结构研究了在单轴压缩载荷作用下弹性波的传播特点，实现了通过单轴张力调控泊松比和弹性波带隙的目的。此外，孔型的排列方式也会造成结构屈曲变形及相应的模态变化[25-29]，Li等[30-31]对软多孔结构采用不同方式填充钢柱，研究结构在单轴载荷作用时屈曲变形对带隙特性的影响，得到了低频可调控的带隙。Dudek等[32]提出了新的二维和三维微尺度的层级机械超材料，研究发现，改变连接元件的铰链厚度时，该结构能表现出可控的拉胀行为。
可见，施加外部载荷是调控多孔层级超材料带隙的一种途径，目前对穿孔结构施加载荷作用的研究主要集中于力学性能方面。而与方形和圆形穿孔板结构相比，椭圆穿孔板更易于打开带隙，不同层级间孔型的分布方式更加多样化，且载荷引起的结构变形可调控带隙分布。本文基于椭圆穿孔板结构[33]建立3个层级椭圆穿孔板模型，通过对不同层级结构的边界施加载荷，研究不同载荷与带隙的分布规律，以期得到更多的完全带隙和方向带隙。
弹性波在超材料结构中传播时，受其内部周期性结构作用而形成特殊的色散关系，为表征该特殊色散关系，本文采用商用软件COMSOL Multiphysics进行了本征频率计算分析。通过求解平衡方程，可得到频率f和波矢k的变化曲线，即能带结构。弹性波在晶格特性的周期介质中传播时，其波动方程如公式(1)所示：
(1)
(2)
根据Bloch定理可将位移用公式(3)表示：
u(r,t)=uk(r)ei(k·r-ωt)
(3)
式中：k为波矢；
uk是与各材料参数具有相同周期的函数。采用有限元法计算，对于任意离散单元可得到公式(4)：
(K-ω2M)u=0
(4)
式中:K为结构全局刚度矩阵;M是结构全局质量矩阵;u是特征向量;ω为结构振动频率。
本文设计的椭圆穿孔板结构分为三个不同层级，不同层级的几何参数通过公式(5)～(7)进行定义。其中，ai表示第i层级原胞尺寸，bi表示第i层级椭圆长半轴长度，ci表示第i层级椭圆短半轴长度，它们均按照下一层级与上一层级的比例来设定。该结构中，填充的圆柱体半径R=0.2ai，图1为第一层级椭圆穿孔板结构(左侧)和原胞模型(右侧)。
图1 椭圆穿孔板模型
(5)
(6)
(7)
上述结构中基体为尼龙，材料参数为弹性模量E0=1.8×109Pa、密度ρ0=1 010 kg/m3、泊松比ν0=0.38，中间填充体为铜质圆柱，材料参数为弹性模量E1=1.64×1011Pa、密度ρ1=8 950 kg/m3、泊松比ν1=0.34。第一层级中原胞结构的尺寸为40 mm×40 mm×10 mm，包覆的铜质圆柱块高h=10 mm，半径R=8 mm，第一层级结构几何参数如表1所示。
表1 原胞结构几何参数
根据文献[34]，在有限元计算中，扫掠相同布里渊区时可将高度在0.1a～0.5a的三维结构简化为二维平面结构进行计算。本文将高度为0.25a的三维结构简化为二维平面结构，以便于研究其面内带隙特性。根据表1和各材料参数建立了不同层级椭圆穿孔板模型，如图2所示。
基于弹性波理论和有限元法计算出各层级的能带结构及相应振型，考虑到精确度和计算效率，只研究前20阶振型，与之对应的为前20条能带。为方便观察带隙频率与材料参数、结构参数之间的关系，将能带结构图的纵坐标数值通过公式(8)进行归一化处理。
(8)
式中：Ω为归一化频率；
f为频率；
a为晶格常数；
ct为横波波速。
根据结构是否受边界载荷作用，分别用Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ表示无边界载荷作用的第一、第二、第三层级结构，用Ⅰ0、Ⅱ0和Ⅲ0分别表示有边界载荷作用的第一、第二、第三层级结构，如表2所示。
表2 层级结构的序列
在对比分析能带结构和振型时，按照表2将相邻层级分为4组：层级Ⅰ和层级Ⅱ、层级Ⅱ和层级Ⅲ、层级Ⅰ0和层级Ⅱ0、层级Ⅱ0和层级Ⅲ0。将层级结构有无边界载荷作用分为3组：层级Ⅰ和层级Ⅰ0、层级Ⅱ和层级Ⅱ0、层级Ⅲ和层级Ⅲ0。
3.1 无边界载荷时带隙计算和分析
计算得到的层级Ⅰ能带结构和传输损耗分别如图3(a)、(b)所示，其中灰色阴影部分表示完全带隙，黑色阴影部分表示XM方向带隙。从图3(a)可知，层级Ⅰ在前20条能带共打开了3个完全带隙和3个XM方向带隙，其中第一个完全带隙范围为0.60～0.70，分布在第5、6能带之间；
第二个完全带隙同时也是带宽最大的带隙分布于第6、7能带之间，范围是0.75～1.0。从图3(b)可知，传输损耗系数在3个完全带隙范围内大幅下降，3个方向带隙范围也均有不同程度的下降。
图3 层级Ⅰ的带隙特性和振型
图3(c)对应图3(a)中第一个完全带隙和最宽带隙上、下边界处的振型。由图3(c)中的A1知，该结构四个角部分可等效为局域振子，弹性波传播过程中的能量在该区域被耗散，带隙开始打开。图3(c)中的B1显示，此时该结构四周边界围绕四个角振动，而结构中心基本保持静止，弹性波随着结构边界的振动继续传播，带隙关闭。图3(c)中的C1表明，此时该结构四个角部分围绕四个角旋转振动，且结构中心填充的铜质圆柱体开始小幅度振动，该部分也可视为局域振动，起到衰减弹性波的作用并打开带隙。从图3(c)中的D1可知，该结构四周边界围绕结构中心逆时针旋转振动，且以边界中心韧带处振动最为激烈，弹性波继续传播，带隙关闭。
层级Ⅱ共有2个完全带隙和4个XM方向带隙，如图4(a)所示。第一个完全带隙分布在第4、5能带间，范围为0.25～0.35；
第2个完全带隙分布于第18、19能带间，范围为1.05～1.3。从图4(b)可知，传输损耗系数在2个完全带隙范围内大幅下降，并在4个方向带隙范围有不同程度的下降。
图4 层级Ⅱ的带隙特性和振型
从图4(c)中A2可知，该结构四个角沿着特定方向振动，而结构中心填充的铜质圆柱体沿着y方向振动，该部分振动可等效为局域振动，衰减弹性波的传播，第1个完全带隙由此打开。当第1个完全带隙关闭时，图4(c)中B2和带隙打开时A2相反，B2中该结构四个角和中心位置均保持静止，而结构边界和韧带沿着特定方向振动。由图4(c)中C2可知，最宽带隙打开时，该结构的四个角、韧带和中心位置均为静止状态，而结构边界振动部分可等效为多个局域振子，从而对弹性波的传播进行衰减。从图4(c)中D2可知，该结构的四周边界和中间韧带位置剧烈振动，弹性波在该结构中继续传播，带隙关闭。
层级Ⅲ的能带结构和传输损耗分别如图5(a)、(b)所示。从图5(a)可知，层级Ⅲ只有1个完全带隙和3个XM方向带隙，完全带隙分布于第18、19能带间，范围是0.95～1.11，在Ω=1附近层级Ⅲ的带宽比层级Ⅰ和层级Ⅱ都小。从图5(b)可知，弹性波不仅在完全带隙范围内被大幅度衰减，在3个方向带隙范围内也有不同程度的衰减。
从图5(c)的A3可知，该结构的四个角产生局域共振，在归一化频率Ω=0.95附近，弹性波因局域共振作用而不能通过该结构，因此带隙开始形成。从图5(c)中的B3可知，连接该结构中心的韧带和连接该结构四个角位置的韧带剧烈振动。这是因为层级的增加导致韧带几何尺寸减小，使得该结构整体等效刚度减小，而添加的铜质圆柱体难以减弱结构对几何缺陷态的敏感性，导致结构在该频率下剧烈振动，从而带隙消失。
图5 层级Ⅲ的带隙特性和振型
通过比较层级Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的能带结构可知，在层级增加的过程中，完全带隙数量逐渐减少，且在Ω≤1范围内的完全带隙逐渐消失。由此可知，能带结构会因层级的增加而发生变化。
3.2 有边界载荷的带隙计算和分析
载荷引起的结构变形可有效改善带隙特性，为探索载荷对超材料带隙的影响，以第一层级结构为例，在材料的完全线弹性范围内，对不同层级结构施加边界载荷并计算其能带结构，此处边界载荷是指在P边界面施加的100 N均匀恒定载荷，如图1(b)所示。在该结构边界受到单轴载荷作用后，为防止发生位移，把Q面的边界条件设为固定约束。
层级Ⅰ0的能带结构和传输损耗分别如图6(a)、(b)所示。从图6(a)可知，层级Ⅰ0共有9个完全带隙和6个XM方向带隙，其中第一个完全带隙范围为0.25～0.40，分布于第2、3能带间，带宽最大的带隙为0.61～0.97，分布于第7、8能带间。从图6(b)传输损耗曲线可知，弹性波在9个完全带隙和6个方向带隙范围内被大幅度衰减。
图6 层级Ⅰ0的带隙特性和振型
根据图6(c)的A01可知，该结构上方两角部分可等效为局域质量产生局域共振，弹性波因结构的局域振动被衰减，开始形成带隙。由图6(c)中B01可知，结构中心的圆柱体向水平方向振动，该结构上方左右两侧振动方向则相反，当弹性波大于结构本征频率时，结构的局域振动不足以衰减弹性波，带隙消失。从图6(c)中的C01可知，它与A01不同的是，该结构上方的边界沿着外侧方向发生局部共振从而形成带隙。而从图6(c)中D01可知，因结构的上边界与连接中心质量块的韧带部分有着不同方向的振动，局域共振的作用不足以衰减弹性波传播，此时带隙消失。从图6(a)可知，带隙开始形成时能带大多呈平直状态，且图6(b)中传输损耗系数在带隙范围内明显下降，说明弹性波明显被局域共振所衰减。
层级Ⅱ0共打开了10个完全带隙和7个XM方向带隙，其中第一个完全带隙范围为0.13～0.15，分布于第1、2能带间，带宽最大的带隙为1.08～1.37，分布于第18、19能带间，如图7(a)所示。传输损耗系数在10个完全带隙和7个方向带隙范围内大幅下降，表明弹性波在相关带隙范围内可被有效衰减，如图7(b)所示。
图7 层级Ⅱ0的带隙特性和振型
从图7(c)中的A02可知，该结构上方两角的局部质量沿着特定方向振动，弹性波在传播过程中的能量被局域振动衰减，从图7(a)可知，第一个完全带隙打开时能带非常平直，因此说明该结构对弹性波群速度有明显的衰减作用。图7(c)中B02的振动模式和B01类似，振动发生在结构中心和韧带位置，以及结构上方的两角，当弹性波频率大于该结构的本征频率时，因局域共振的作用逐渐减弱，弹性波随着结构的振动继续传播，导致带隙关闭。对于图7(c)中C02，由于引入层级导致结构内部边界数量增加，弹性波在该周期结构中传播时，部分弹性波在结构内部的边界发生反射，与入射的行波发生相互作用，从而产生布拉格带隙。从图7(c)中D02可知，该结构下边界因施加固定约束保持静止，而其余边界和左右两侧的韧带振动模式与图5(c)中D2类似，弹性波因结构的振动向下一个周期单元继续传播，因此带隙消失。
层级Ⅲ0的能带结构和传输损耗曲线如图8(a)、(b)所示。从图8(a)可知，层级Ⅲ0共有11个完全带隙和6个XM方向带隙，其中第一个完全带隙为0.18～0.20，分布于第1、2能带间，带宽最大的带隙为1.01～1.16，分布于第18、19能带间。从图8(b)中传输损耗系数大幅下降可知，弹性波在11个完全带隙和6个方向带隙范围内均被有效衰减。
图8(c)中A03振动模式和图7(c)的A02相同，只有作为局部质量的两角位置发生振动，弹性波因局域振动被衰减。图8(c)中B03的振型和图8(c)中B02类似，在结构的中心和上方角位置处产生振动，弹性波随着结构振动继续传播。由图8(c)中C03和D03振型可知，当弹性波在传播过程中引起结构振动，因入射波和反射波相互作用，从而打开带隙；
当反射波的频率、相位和入射波不同时，布拉格散射作用减弱直至消失，带隙随之关闭。
图8 层级Ⅲ0的带隙特性和振型
根据上述分析可知，边界载荷引起的结构变形可改变其本征频率，并可将简并态能带打开形成带隙。以层级Ⅱ、层级Ⅲ的第5、6条能带为例，由图4(a)、图5(a)可知，无载荷作用时第5、6条能带在X点发生“简并”，即在X点处弹性波能量相同但对应两个不同的本征频率。在施加载荷作用后，由图7(a)、图8(a)可知，第5、6条能带简并态消失从而形成带隙，同时在其他XM方向打开了多个方向带隙。
另外，由图2可知层级的增加造成结构边界面的横截面积减小，以及结构内韧带部分几何尺寸减小，导致结构整体等效刚度减小，因此结构本征频率下降。若用ωn+1、ωn分别表示第n(n≤19)个带隙上、下边界的频率，ωc=(ωn+1-ωn)/2表示带隙中心频率，由图6(a)、图7(a)和图8(a)可知，总体上带隙中心频率均下降。而在施加载荷作用后，层级Ⅰ0、层级Ⅱ0和层级Ⅲ0打开的完全带隙数量明显增多；
在Ω≤1范围内，层级Ⅱ0、Ⅲ0最宽带隙如图7(a)和图8(a)蓝色阴影部分所示，很明显，随着层级的增加该范围内最宽带隙的带宽在逐渐减小。从图6(b)、图7(b)和图8(b)的传输特性曲线可知，在带隙范围内传输损耗系数均小于-150 dB，说明对该结构施加载荷作用可有效衰减弹性波的传播。
图9表示第一层级结构的带隙在不同边界载荷作用下的变化，从图中可知，在载荷增大的过程中，完全带隙的数量在逐渐减少。另外，在载荷增大的过程中，带隙上边界的频率几乎不变，而带隙下边界的频率则不断增大，因此第一个完全带隙和最宽带隙的带宽随着载荷的增大而逐渐减小。通过上述结果可知，合理施加边界载荷，可改善带隙特性。
图9 带隙宽度随不同边界载荷的变化关系
通过研究不同层级椭圆穿孔板超材料在有无边界载荷情况下的带隙特性、传输损耗及相关振型变化，发现在结构边界施加载荷后可使能带结构和振型发生明显变化，从而得出以下结论：
1)在结构不考虑边界载荷作用的影响时，通过引入层级设计，增加层级数量可降低带隙的频率，实现对低频弹性波的有效抑制。
2)在考虑边界施加载荷作用的影响时，层级椭圆穿孔板结构的简并态能带被打开且“拉直”成平带，可打开更多的方向带隙及增大方向带隙的带宽，有利于在更宽频率范围内抑制特定方向的弹性波传播。
3)在超材料结构的多个区域形成局域振子，可增加弹性波传播过程中的能量耗散。引入层级设计并施加一定边界载荷是抑制弹性波传播的有效途径。
值得说明的是，不同边界载荷对超材料结构力学性能及带隙特性的影响程度不同，本文研究仅限于完全线弹性变形阶段，因此，多种类型的载荷作用情况下超材料结构的刚度和泊松比的变化情况值得进一步研究讨论。此外，还可采用合适的拓扑优化方法来拓宽低频范围的带隙宽度，以便于实际工程应用。
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