摘 要： 基于图式的教学策略和一般教学策略是两种常用的干预数学学习不良学生的方法。基于图式的教学策略和一般教学策略都由四个步骤组成：阅读、表征问题、计划解决问题和检查。然而，但基于策略的教学强调策略更具有针对性——识别问题结构并用图式去表征问题，而一般教学策略组教学生画半直观图形来表示问题中的信息。策略比较对数学学习不良学生解决应用题干预研究的启示为：（1）应强调抽象的图式表征；（2）应强调强调具体问题类型的图式表征。
关键词： 数学学习不良 比例应用题 干预策略 启示
数学学习不良是学龄儿童普遍的学习不良类型，美国一些大规模研究发现：约有6%的小学生和初中生被诊断为数学学习不良。数学学习不良领域的传统研究主要集中在儿童的基本算术技能上[1]。与数学学习不良儿童基本算术技能的研究相比而言，对数学学习不良儿童更高水平的数学思维和问题解决的研究较少。研究发现：数学学习不良儿童最大的困难是解决数学应用题[2]。
虽然我国在国际数学竞赛中取得了优异成绩，但是对于数学学习不良的研究却显得有些滞后。有道是“它山之石，可以攻玉”，所以，介绍Xin Yan Ping对数学学习不良学生解决比例应用题的两种干预策略无疑是非常必要的[3]。本文首先介绍两种干预策略，然后对两种策略进行比较，探讨对数学应用题干预的启示。
一、两种干预策略
（一）基于图式的教学
1.图式
最早提出图式这个概念的心理学家是巴特莱特（F.C.Bartlett，1932）。他采用有意义的故事、图画和散文作为实验材料做记忆实验，研究发现：回忆得到的信息与实验材料相比，实验材料的结构保存下来了，但那些不重要的部分被忘记了。在记忆研究基础上，巴特莱特提出了图式概念，将图式界定为：“关于过去反应或以往经历的一种主动组织。”[4]
2.比例应用题图式
以比例应用题“一个菜谱使用3只鸡蛋做20个蛋糕，假如你想做80个蛋糕，则需要12个鸡蛋”为例，例示比例应用题图式。比例问题图式（见图1）具有下列特征：（1）比例问题描述两个物体之间的联系；（2）两个物体涉及两对联系，涉及四个量；（3）两对物体之间的数量联系（比率）是不变的[3]。
3.基于图式的教学[3]
基于图式的教学包括四个阶段，前两个阶段为问题图式教学阶段，后两个阶段为问题解决教学阶段。
（1）问题图式教学阶段
步骤1：识别两个事物（一个为主语，另一个为宾语）：鸡蛋和蛋糕。在图1上的主语和宾语下面写上它们。
步骤2：识别两个数量关系（共4个量），在图式图中填入数字。表征和匹配强调用对应的量正确安排两个维度（主语和宾语）。即，当第一对描述3个鸡蛋和20个蛋糕之间的联系时，第二对描述12个鸡蛋对80个蛋糕，而不是80个蛋糕对12个鸡蛋。通过等式检查正确与否：3/20=12/80，20×12=3×80，说明两对数量关系正确匹配。
（2）问题解决教学阶段
步骤3：在问题解决教学阶段，呈现具有未知信息的问题。指导学生使用图式图表征问题。与问题图式教学阶段一致，仅有的差异是使用问号“？”代替未知量。转换图式图为等式，并且求出未知量：3/20=？/80，？=（3×80）/20=12。
步骤4：写出完整答案，检查计算的精确性。
（二）一般策略教学[3]
一般策略教学包括问题解决四个步骤：理解；计划；解题；检查。
步骤1：理解。问学生：“你在问题中发现了什么？”“问题给出什么信息？”此外，鼓励学生用自己的话复述问题，列出已知信息。
步骤2：计划。可以使用一些策略解题（画图、画表格，写出数学等式，等等）。“你准备使用什么解题策略？”因为学生通常使用画图策略，教师集中于使用画图表征信息，然后通过数图形来获得解答。
步骤3：解题。展示他们的图形，求出答案。
步骤4：检查。要求学生说明答案是合理的，是否可以用另外的方法解决问题？
例如问题：“假如Ann使用5只柠檬制作2夸脱的柠檬水，若想制作8夸脱的柠檬水，需要多少只柠檬？”每只柠檬用一个*表示，每夸脱的柠檬水用@表示，先画出5只柠檬*****，接着对应画出2夸脱的柠檬水@@，然后画出8夸脱的柠檬水，即8个@（每2个画在一起），而每2个@对应5只*，所以，可以画出所有的*，最后，数出*的数目。
二、两种干预策略的比较
（一）问题解决过程
基于图式的教学和一般教学策略都遵循：阅读、表征、解题和检查四个步骤，但是两种教学在步骤2和3有很大差异，一般教学策略更笼统，基于图式教学策略更具体。
（二）策略干预效果
Xin[3]研究了两个问题解决教学方法（基于图式教学和一般策略教学）对22名数学学习不良中学生教学效果。结果表明：基于图式策略在及时和延时后测、迁移测验都优于一般策略组。
三、启示
（一）干预策略应强调应用题的抽象图式表征
比例应用题图式定义为：学生在比例应用题学习过程中，对学习材料进行概括的基础上形成的、存储在长时记忆中的、具有一定框架结构的陈述性知识。如图1，图式表征能够揭示变量（或常量）之间的联系，是一种抽象的表征。而图2是一个半抽象半具体的图形表征，这种表征在数字较小的情况下能够解决问题，但是，解题速度较慢，更大的缺陷是：当问题中的数字很大时，几乎无法用半直观的形式来表示，问题将无法解决。因此，半直观的表征方式不值得推广。
（二）干预策略强调具体问题类型的图式表征
波利亚提出数学问题解决四阶段模型：（1）理解问题。（2）制订计划。（3）执行计划。（4）检查算式和结果。此模型适用于所有数学问题解决。在此基础上，梅耶提出数学应用题解决四阶段模型：（1）问题转换阶段：提取语言学知识和事实知识，用以将应用题中的各句子转化成某种心理表征。（2）问题整合阶段：提取问题类型的图式知识，形成能够反映文本命题之间关系信息的一个整合的心理表征。（3）解答计划阶段：选择一个解答计划。（4）解答执行阶段：执行运算以求得一个数字答案。此模型更适合数学应用题的问题解决，他认为四个阶段中前两个阶段是问题表征阶段，最重要的是整合表征，但是他未指出对某些类型的应用题如何表征。
解决不同类型应用题的策略应该在整合表征方面更具体，应该强调此类型的问题图式。例如，比例问题强调比例问题的图式，加减应用题强调加减应用题的图式，乘除应用题应该强调乘除应用题的图式。所以，在新手阶段，也就是学习的开始阶段，解题策略越具体就越能够促进问题的解决。
参考文献：
[1]曾盼盼，俞国良.数学学习不良的研究及趋势[J].心理科学进展，2002，10（1）：48-56.
[2]Diane，P.B.，Brain，R.B.& Donald，D.H.Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weakness.Journal of Learning Disability，1999，33（2）：168-177.
[3]Xin，Y.P，Jitendra，A.K，&Buchman，A.D.Effects of mathematical word problem-solving instruction on middle school students with learning problems.The Journal of Special Educationa，2005，39（3）：181-192.
[4]郭兆明.数学高级认知图式获得方式的比较研究[D].西南大学博士论文，2006.
基金项目：江苏省教育厅2008年度高校哲学社会科学课题（08SJDXLX0005）。