摘 要：本文以二项分布为基础，建立一个风险收益模型作为证券交易策略风险评估的理论依据。该模型从理论和实证上证明：在单次交易的收益率不变以及不考虑交易成本的条件下，交易策略的长期风险不依赖于交易次数，只取决于正收益相对负收益的幅度，而不取决于正收益在总交易次数中的比率。该模型作为风险评估工具为证券交易策略提供了理论基础，同时给出了通过计算交易策略的alpha值来估计其长期风险的预测方法。
关键词：交易策略；风险评估；收益
Abstract：This paper sets up a risk-benefit model based on binomial distribution in order to provide theoretical foundation for risk assessment on securities trading strategy. This model proves from both theoretical and practical views that under some conditions the long-term risks of trading strategy are not relative to the number of transactions or the ratio of the number of positive-benefit transactions over the total number of transactions，they are only rely on the extent of positive benefits over negative benefits. This model as a tool of risk assessment provides basic foundation for securities trading strategies and gives a forecasting method to estimate long-term risks by calculating the value of alpha of trading strategy.
Key Words：trading strategy，risk assessment，benefit
中图分类号：F830 文献标识码：A 文章编号：1674-2265（2012）10-0003-05
一、引言
自上个世纪50年代以来，大量学者研究证券市场中资产风险与收益率的关系。马科维茨（Markowitz，1952）的投资组合理论奠定了风险和收益关系研究的基石，并导致了现代资本市场理论的发展。基于该投资组合理论，夏普（Sharp，1964）、林特纳（Lintner，1965）和莫辛（Jan Mossin，1966）提出CAMP资本资产定价模型，根据市场走势预测选择不同的证券组合以规避市场风险、获得较高收益。随着证券市场的发展，罗斯（Ross，1976）提出APT套利定价理论，默顿（Merton，1973）提出OPT期权定价理论。这些理论模型在投资组合绩效、证券估价、证券投资等领域成为里程碑式的投资模型，得到了广泛应用。然而，这些经典模型以及后来布里登（Breeden，1979）、里昂诺姆（Reinganum，1981）、陈浪南等（2000）、靳云汇等（2001）都集中在对投资组合风险性的研究上，很少涉及到交易策略的风险研究；康拉德和考尔（Conrad和Kaul，1998）研究了交易策略，但没有具体研究交易策略的风险评估方面。投资组合的风险性和交易策略的风险性存在一定差别：前者属于投资标的选择策略范畴，而后者属于操作层面的交易策略范畴；投资标的本身的风险具有不可控性，而操作策略往往能够通过诸如“止盈”或者“止损”等手段来有效控制投资标的自身带来的风险。
尽管目前一些理论试图揭示证券市场复杂行为的原因，并预测投资标的的未来行为，但是这方面的研究进展仍很缓慢，甚至大多数成功的投资者也认为，复杂的市场行为是不可预测的。巴菲特说过，他从不预测市场，也没有人能够预测市场。当人们总结这些投资者投资成功的原因时，会发现他们往往非常注意投资风险的控制，尽管他们也很重视对投资标的的选择，但从不对市场做出坚决的预期。这说明，复杂的市场行为至今仍是人类未解之谜，而包括风险控制和风险评估在内的交易策略的风险研究在实际投资过程中的作用往往重要于投资组合或者投资标的本身的风险研究，也就是交易策略的制定比投资组合策略的选择重要得多。
由于交易策略的制定，每一次投资的收益率往往是可控的，因此我们可以假设其单次投资的收益率是固定的。在本文中，我们以熟悉的二项分布为基础，建立了一个风险—收益模型，结果证明该模型能够作为交易策略风险评估的一个理论基础。该模型把目前关于交易策略风险评估方法中常用的正收益比率与收益率联系起来，改进了评估方法。
二、 交易策略亏损概率的测算
（一）正收益交易的概率函数
我们假设某个投资者按照既定的交易策略，比如设定“止盈”和“止损”收益率等，进行了一系列交易，投资者的初始资金为 ，并且每一次正收益交易的收益率为常数 ，负收益交易的收益率为常数 ，则总收益率可以表示为：
这里， ； 分别代表正收益交易和负收益交易的次数。我们感兴趣的是总收益率小于零的条件：
即：
这里： 。
在 次交易中，我们想知道发生 次正收益交易的概率是多大？显然， 次正收益交易和
次负收益交易的顺序可能不一样，因此，交易次数为 的交易过程将有总共Q种可能的情况出现。 这里C 表示组合数。另外，发生 次正收益交易的可能性有M种。
于是，出现 次正收益交易的概率为：
该概率函数是归一的，即：
显然，这就是人们熟悉的二项分布。累计概率函数于是可以表达为：
（二）辛苦系数
当正增长率 和负增长率 一定时，在 次交易中，正收益的交易次数小于 次将导致总收益率小于零。这是个临界正交易次数，即 ；
又由于 ，因此我们可以把这个临界次数表达为：
这里，符号[]表示取整的意思，并且：
它是一个临界的正交易比率，正交易比率就是正收益的交易次数占总交易次数的比例，也就是所谓的“胜率”。这里我们不妨称这个临界值为“辛苦系数”，它表明投资者在目前的正收益率和负收益率交易水平下，至少要保证总交易次数中的 比例是正收益，才能使最后的总收益率为正。显然根据前面
的表达式，我们可以得到“辛苦系数”与单次收益率的关系：
假设 ，并在图1中画出 曲线。从图中可以看出，单次负收益率相对正收益率越大， 值越大，说明投资者想要最后获得正收益率就需要更多的单次正收益交易，就越“辛苦”。
（三）未来亏损概率
定义未来亏损概率为：假设保持现有的单次正增长率和负增长率的增长模式，未来在一个较大的交易次数 下，总收益率亏损的概率。未来亏损概率实际上就是某一个交易策略的长期风险。根据这个定义，我们知道它等于累计概率函数（7）：
方程（11）的解析表达式为：
这里， 是 Gamma 函数， 是超几何函数，从而构建了交易策略的风险收益模型。
方程 （12） 就是未来亏损概率的表达式，它是一个在交易次数 时与 无关的函数，这就为我们评估交易策略提供了很好的工具，因为未来无论 和
如何配置都不影响未来的亏损概率，它是一个能反映交易策略长期风险的特征函数。图2 根据方程 （12）给出了未来亏损概率与交易次数在不同“辛苦系数”下的关系，显然，当交易次数很大时，未来亏损概率是稳定的；并且投资者越“辛苦”，其未来亏损的概率就越大。
三、Monte Carlo模拟
为了验证前面所述的模型，我们进行了Monte Carlo 模拟。Monte Carlo 模拟是一种用以替代真实随机实验的计算机模拟实验方法，它通过随机抽样的方法来模拟自然界中的各种随机现象或者实现各种计算要求。我们假设一次试验过程包括 次交易，而每次交易的收益率不是正的 就是负的 ；另外，出现正收益和负收益的概率是相等的。于是我们就可以计算出这样一次试验的总收益率 。我们重复这样的试验 次，并且统计每次试验的交易总收益率
的次数 ，就可以得到在常数参数 、 和 的条件下，该交易策略的亏损概率 。当我们在每一次试验中选择很大的交易次数时，便可得到未来亏损概率。图3给出了计算流程图。
方程（12）描述了在交易次数 情况下，亏损概率与辛苦系数 的关系。从图4中可以看出，未来亏损概率与辛苦系数存在正相关的关系，并且这个关系可以划分为三个区域：在辛苦系数小于0.4的区域，未来亏损概率几乎为零；辛苦系数在0.4—0.6之间的区域，未来亏损概率显著上升；而在辛苦系数大于0.6的区域，未来亏损概率几乎为1。事实上，辛苦系数是关于单次收益率 和 的函数，因此我们可以通过某交易策略的单次收益率情况来判断其未来存在的交易风险。
我们分别模拟了对应这三个区域的亏损概率与交易次数 的关系，其结果与方程（12）得到的理论值符合得很好。图5给出了模拟值与理论值的比较。从图中可以看到，当交易次数 很大时，亏损概率趋向一个稳定值，这说明如果一个投资者坚持在一个常数的单次（正负）收益率的交易模式下进行交易，那么这个投资者长期的收益率出现亏损（或者盈利）的风险也是固定的。另外，这个风险与“辛苦系数”有关，“辛苦系数”越大，亏损概率越高；或者说与单次交易的常数收益率有关，负收益率绝对值相对正收益率越高，亏损的风险越大。
未来亏损概率 是在交易次数 时的亏损概率，显然它是个只与参数 ，也就是“辛苦系数”有关的量，而与交易次数 无关，换句话说，它与单次交易的正负收益率有关。我们令单次正收益率
并给出了未来亏损概率和单次负收益率绝对值 之间的关系。图6 给出了理论值和模拟值的比较，可以看到两者符合得很好。这说明，我们的理论模型能够很好地描述这样一个基本的交易风险与收益的事实。
四、交易策略的风险评估
我们提出的这个收益与风险模型为评估交易策略的未来风险提供了有力的理论支持。从上面的分析可以看出，当单次交易的增长率确定时，其交易策略在长期交易下的亏损概率就是确定的，而与交易次数没有关系。这个结论使我们科学地评估策略风险成为可能，因为在这个模型下，策略的风险是一个由策略本身所决定的禀赋性特征，与任何交易次数或者交易时间等细节问题无关。因此，也就可以不必对交易策略进行耗时的实际测试，而直接判断策略的未来风险了。当然，实际的交易往往非常复杂，单次交易收益率经常不会满足这个风险—收益模型的条件，但当交易策略能够长时间保持一个相对稳定的单次收益率时，这个模型确定的风险值就是可靠的。换句话说，本文提出的风险—收益模型为数量化风险评估提供了科学的理论依据。
另外，我们的评估模型也揭示出这样一个关于投资交易的道理：一个交易策略的未来风险仅仅取决于正收益率相对负收益率绝对值的比值，也就是
，这个比值越大，其风险越小。换句话说，交易的风险与发生正（负）交易的次数无关，而只与单次的正负收益率有关。我们必须保证一次或者少数几次很高的正收益率，而其他发生负收益的交易产生的损失都很小，才可以保证我们长期的总交易是正收益。这也就是平常投资者所说的“大赚小赔”的投资法则。 目前，有关交易策略的风险评估方法多集中于考察交易策略所能达到的正交易比率上，也就是所谓的参数“胜率”上，然而本文的模型显示“胜率”高的交易策略不一定未来亏损的风险就低。单次正收益率很低，但获利次数很高，即“胜率”很高，未来亏损概率一样会很大，这是因为单次正收益率很低，尽管正收益次数很多，但未来一次亏损就可能把以前积累的利润消耗尽。我们的模型把正交易比率与交易的收益率联系起来，给出了更加科学的评估方法。
五、在交易策略风险评估中的应用
我们的模型可以应用于交易策略的风险评估。可以根据某个交易策略的历史交易次数和交易收益率，把所有正收益率和负收益率分别折合成两个复合收益率，即 和 ；然后分别根据“辛苦系数”的计算公式（10）算出参数 ；最后按照方程（12 ）可以算出该交易策略的未来风险概率 。这个概率的含义就是，如果交易策略在未来以目前的模式继续运行下去的话，它的亏损概率就是 。
举个例子，假设某个交易策略产生了下列的收益率，如表1。首先，我们可以很容易地计算出复合收益率，即 ， - ；另外根据（10）得到辛苦系数 ；于是可以计算出该策略的未来亏损概率为 。它表明，如果这个交易策略以后仍按这种模式运行下去的话，其未来亏损的概率大概是0.58。这个例子表明我们可以通过计算交易策略的 值来估算它的未来风险，并且在这个例子中我们也看到尽管该交易策略有70%的胜率，但其未来存在的亏损风险仍然高达58%。
值得注意的是，由于实际交易中每次交易收益率是变化的，有时差别还很大，这将影响辛苦系数
值的评估效果，因此我们还需要附加计算单次收益率的方差 和 。方差越小， 值的评估效果越好。另外，用户可以选择市场处于上升阶段或者下跌阶段计算 值，这样评估更易于比较。
六、结论
不同于传统的关于风险的描述，比如定义风险为收益率的方差等，本文试图通过一些基本假设自然地推导出风险的表达式。在二项分布的基础上，我们建立了一个风险收益模型来作为交易策略风险评估的理论依据。这个模型从理论上和数值实验上证明了：在单次交易的收益率不变以及不考虑交易成本的条件下，（1）交易策略的长期风险不依赖于交易次数；（2）交易策略的长期风险不取决于正收益比率；（3）交易策略的长期风险只取决于正收益相对负收益的幅度。模型为风险评估工具提供了坚实的理论基础，并且把目前关于交易策略风险评估方法中常用的正收益比率与收益率联系起来，改进了评估方法。
参考文献：
[1]Banz，R.，1981，“The Relationship between Return and Market Value of Common Stocks”，Journal of Financial Economics，9（1），pp.3-18.
[2]Breeden，D.，1979，“An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and Investment Opportunities”，Journal of Financial Economics，7（3），pp. 265-296.
[3]Markowitz，H.M.，1952，“Portfolio Selection”，The Journal of Finance 7 （1），pp. 77-91.
[4]陈浪南，屈文洲.资本资产定价模型的实证研究[J].经济研究，2000，（4）.
[5]靳云汇，刘霖.中国股票市场CAPM的实证研究[J].金融研究，2001，（7）.
（特约编辑 齐稚平；校对 GX）