摘 要: 极限是高等数学的重要基础知识,极限思想贯穿整个高等数学,学生必须掌握求极限的方法.本文总结了求极限的一些方法. 关键词: 极限 习题课 求极限的方法
极限是微积分课程的一个重要内容,是微积分课程开始部分的重点和难点部分.在某种程度上说,能否学好这部分内容直接关系到微积分学习的好坏,将影响到该课程的学习效果.
由于该部分的概念抽象、公式繁多,学生往往会碰到听懂了,但公式不会用、不会做题的问题,因此安排习题课必不可少.通过组织有效的习题,不仅能够强调重点内容,而且能够将整个章节内容贯穿起来,体现体系的完整性,使学生对所学内容的认识有质的飞跃.
习题课要密切配合课本内容,着重考查学生对所学知识的掌握情况,起到及时反馈巩固所学知识的作用.同时习题的选择要有一定的代表性、启发性,能做到以基础知识为出发点,辐射到所学知识点.给学生讲解时要分析透彻,授之以“渔”而非授之以“鱼”.下面是笔者总结的求极限的方法.
一、利用极限运算法则求极限
恒等变形法——对于不能直接利用极限四则运算法则的,可通过一定的恒等变形再利用法则求解,包括以下三种情况.
(1)■型,可因式分解;分子分母有理化;三角恒等式.(2)■型,分子分母同除以它们代数式中最高阶无穷大因子.(3)∞-∞型,可通分或有理化转为■型或■型.
例1:■(■-■)
解:分析:属于∞-∞型,不能直接利用极限的四则运算法则进行计算,必须先将函数变形.
原式=■■
=■■=■■=■=1
二、利用单调有界准则证明或求极限
方法:利用单调有界数列必有极限,主要针对递推数列,其步骤为:
(1)用数学归纳法或x■-x■≥0或■>1,证明其单调性.(2)用不等式放大缩小法证明数列的有界性.(3)令■x■=A,求解A的方程得A,即得■x■的值.
例2:设01时,x■-x■=■-x■=■≥0,所以数列{x■}单调增,根据单调有界准则得数列{x■}的极限存在.
令■x■=A,在x■=■中令n→∞,得
A=■,解得A=3/2,A=0(舍去),故■x■=■.
三、求数列n项和的极限
方法一:利用夹逼定理
例3:求■(■+■+…+■)
解:因为■<■+■+…+■<■,
而■■=1,■■=1,故由夹逼定理得原式=1.
方法二:利用拆项法
例4:■■■
解:由拆项法得■=■-■,■■=1+■-■-■
原式=■■■=■.
四、求数列n项积的极限
方法一:夹逼定理;
方法二:拆通项分解因式法,即使因子相乘,中间项抵消;
方法三:分子分母同乘以一因式,使其易求;
方法四:取对数法.
例5:■(1-■)(1-■)…(1-■)
由于1-■=■,故原式=■(■·■)(■·■)…(■·■)=■■·■=■.
五、利用等价无穷小及无穷小的性质求极限
常见的等价无穷小:当x→0时,(1)sinx~x;(2)tanx~x;(3)arctanx~x;(4)1-cosx~■x■;(5)■-1~■x;(6)e■-1~x;(7)arcsinx~x;(8)ln(1+x)~x.等价无穷小在作积商运算的时候可以相互代替,对加减运算不宜使用.
例6:■■
解:原式=■■=■■=■
六、幂指函数y=f(x)■求极限,常用取对数的方法
例7:■(sinx)■
解:用罗必塔法则
因为■tanxlnsinx属于∞·0型,■tanxlnsinx=■■=■■=■■=■-sinxcosx=0,原式=e■=e■=1.
合理选取有代表性的习题,往往能加深学生学生对所学知识的理解与应用,使学生能体会到定义、定理及推论的妙用,同时使学生发现问题、分析问题、解决问题的能力得到了发展,进而提高了教学质量.
参考文献:
[1]参韩飞,张汉平,胡方富.应用经济数学.湖南:湖南师范大学出版社,2011,8.
[2]郝小宁.浅谈高等数学教学方法.山西科教,2009(2).
本论文属湖北省教育科学“十二五”规划立项课题。一般课题,课题编号:2011B329。