摘 要：“算两次”的方法在数学解题中经常用到. 一样的事实，两种算法，便可以得到一个数学等式，这是值得重视的解题途径. 这种方法在自主招生等各种考试中经常被运用. 关键词：算两次；自主招生
“算两次”的方法在数学解题中经常用到. 一样的事实，两种算法，便可以得到一个数学等式，这是值得重视的解题途径. 这种方法在自主招生等各种考试中经常被运用.
例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，在AB，AC上取P，Q，若使得AQ=PQ=BP=BC，求角A的大小.
解：设AQ=PQ=BP=BC=x，对AB算两次由正弦定理得：AP=2xcosA. 因而，AB=x+2xcosA.
又在△ABC中，AB=，故而，x+2xcosA=. 于是，1+2cosA=. 从而，3sin-4sin3=，变为sin=，得A=20°.
例2 （2011上海新知杯竞赛）如图2，在△ABC中，M，N分别在AB，AC上，且AM=6，AN=4，MB=4，NC=3，O是BC的中点，且OM⊥ON，求角A.
解：取P是MN的中点，在直角三角形OMN中，=2，=-，2=+，即-2=+2，可得52-48cosA=25+24cosA，得cosA=，A=arccos.
例3 （2012华约自招）如图3，已知在锐角三角形ABC中，BE垂直AC于E，CD垂直AB于D，BC=25，CE=7，BD=15，以DE为直径的圆与AC交于F，求AF的长.
图3
解：易知sin∠ABC=，cos∠ABC=，sin∠ACB=，cos∠ACB=，所以sinA=sin（∠ABC+∠ACB）=①. 另一方面，在△ABE中，sinA==②.
由①和②得AB=30. 另外，因为DE是圆的直径，可知DF⊥AC，所以DF∥BE，而BD=15，AB=30，说明D是AB的中点，即F是AE的中点，所以得AF=AE==9.
例4 已知等差数列{an}的公差不为零，在{an}中取出部分项ak1，ak2，ak3，…，恰好成等比数列{akn}，已知k1=1，k2=5，k3=17，求数列{kn}的通项公式.
解：由a=a1·a17，得（a1+4d）2=a1（a1+16d），即2d2=a1d，因为公差不为零，所以2d=a1.
对akn算两次，一方面，在等差数列中，akn=a1+（kn-1）d=2d+（kn-1）d；另一方面，在等比数列中，akn=a1·3n-1=2d·3n-1. 于是，2d+（kn-1）d=2d·3n-1，得kn=2·3n-1-1.
例5 已知α，β都是锐角，且sin2α+sin2β=sin（α+β），证明：α+β=.
证明：已知α，β都是锐角，则-α，-β也是锐角，sin2α+sin2β=sin（α+β），即sin（α+β）=sin2α+sin2β ①.
又sin（α+β）=sin[π-（α+β）]=sin-α+-β=sin2-α+sin2-β=cos2α+cos2β，即sin（α+β）=cos2α+cos2β ②.
①+②得：2sin（α+β）=2，即sin（α+β）=1，于是α+β=.
例6 （2008全国联赛）如图4，P是抛物线y2=2x上的一动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC的面积的最小值.
图4
解：设P的坐标是P（x0，y0），△ABC的面积是S，PB，PC与圆的切点是D，E. 一方面，S=BC·x0；另一方面，S=·1·（BC+PB+PC）=BC+PD，根据勾股定理可求得PD= ==x0，即S=BC+x0.
由以上两方面，得BC·x0=BC+x0，注意到x0≠2，否则PE∥y轴，于是BC=，得x0>2.
这样S=+x0=（x0-2）++4≥8，当x0=4，y0=±2时，△PBC的面积最小.
例7 （上海交大2010自主招生）用两个钢珠测算一工件的圆柱形内直径D，若半径为r1的钢珠上端与孔口平面距离为H1，半径为r2的钢珠上端与孔口平面距离为H2（如图5），则D=______.
图5
解：如图，设O2E=x，因为AB=CD，则2r2+H2=r2+x+r1+H1，所以x=r2-r1+H2-H1，于是O1E=，|所以内直径D=+（r1+r2）.