摘 要： 本文讨论了闭区间上严格非扩张映射的不动点迭代公式的构造问题. 关键词： 严格非扩展映射 不动点 迭代 文章通过对迭代公式中系数参量的变化，讨论了闭区间上严格非扩张映射的不动点的具体构造方法，从而得到三个数学分析中的相关结果.
第一部分：引理
引理：若函数f满足
（ⅰ）f（[a，b]）？奂[a，b]；
（ⅱ）？坌x，y∈[a，b]，x≠y，有|f（x）-f（y）|三种情况讨论：
若x=，则x≡，即{x}为常数列，结论显然；
若xαx+（1-α）x
=x
x=αx+（1-α）f（x）
，类似可证{x}在[a，b]上严格单调递减.
第二部分：主要结论
1985年徐州师范大学研究生入学试题中有这样一道题：
设函数f在[a，b]上连续，且有
f（[a，b]）？奂[a，b]
试证（ⅰ）？埚x∈[a，b]使得f（x）=x；
（ⅱ）若f单调递减则（ⅰ）中的x是唯一的；
（ⅲ）若？坌x，y∈[a，b].x≠y，有|f（x）-f（y）|0.由引理，令α=（n=1，2，…）.即知{x}是单调的，于是？坌ε>0，？埚N∈N.当n>N时，
m-ε0.类似于定理1中的证明，有
x=+m （或x=-m）
有条件（ⅲ）有
x=[αx+（1-α）f（x）]
=α·x+（1-α）f（x）
=α（+m）+（1-α）f（+m）
=+m
（或x=α（-m）+（1-α）f（-m）=-m）
于是有
f（+m）=（+m） （或f（-m）=-m）
这与是f的唯一不动点矛盾，故m=0.
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1998：160.
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