摘要：有效操作是新课程提倡的一种学习方式，为学生积极探究、主动获取几何知识及函数图象的性质提供了机会. 本文通过书本上例题从两个不角度浅述如何通过学生的“操作”、反思的认知过程，把外在的动作物化出来，又通过自己的语言内化成自己的思维动作.
关键词：图象；操作；反思；理解
有效操作是新课程提倡的一种学习方式，为学生积极探究、主动获取几何知识及函数图象的性质提供了机会. 它是培养学生学习能力、发展空间观念、数形结合的重要途径之一. 然而在函数图象的教学中，教师不是认为其没新意、简单，就是认为其很难挖掘而一笔带过，这对学生形成函数图象的认识是一极大的浪费.我们要讲究函数图象操作的有效化，使学生在“做数学”的过程中得到知识，形成能力. 那么，在函数图象的教学中，如何有效操作呢？下面笔者将通过书本上例题从两个不角度浅述如何通过学生的“操作”、反思的认知过程，把外在的动作物化出来，又通过自己的语言内化成自己的思维动作.
人民教育出版社出版的八年级数学上册第115页的例题2是这样的：
例2画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象
这道课本思考题的两次教学设计
1. 第一次教学设计
2. 第二次教学设计
（2）反思抽象.
在“操作”的基础上，教师提出下面3个问题让学生反思.
通过学生的独立思考和交流得到以下结论：①两个函数的倾斜度一样，这个主要由k造成；②从函数的解析式来看两者只有在常数项上数字的差别，其他的没变，并且正比例函数可以看成是y=kx+0，所以从解析式上看正比例函数是一次函数的特殊情况.从特殊与一般的关系来看，正比例函数的图象是一条直线，因此一次函数的图象也应该是一条直线；③从表格的数值来看上下两行对应的数值差相等. y=-6x+5函数值就在y=-6x的函数值上加上5；④反映在图象上，就是不论横坐标为几，两个函数图象的纵坐标总差同一个值，即同一个函数的图象总比另一个函数的图象高出同一个高度5；⑤在x轴上任取两个x值，过它向x轴作垂线与两个函数分别有四个交点，这四个点组成的四边形永远是平行四边形.
在思考与交流的基础上，教师进一步要求学生从简洁美的角度对所得到的结论进行概括，于是继续突出问题2让学生思考.
1. 对第一次教学设计的反思
第一次的教学设计是教师直接应用几何画板演示图形变换，然后将结论告诉学生，这里过快的教学过程只能有少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生没有真正理解，只能靠死记硬背，难怪有些学生过了一段时间也就忘了. 看来，学生没有自己的独立思考，没有自己对数学知识的思维加工，仅停留在模仿、记忆水平的学习方式需要改变.
2. 对第二次教学设计的反思
（1）突出了学生的“操作”
“操作”，包括外在的活动操作与内在的智力操作. 学生要构造自己理解的数学概念，关键是一种思想上的飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”. 为了形成反省，必须将自己的实践性活动变为思考的对象，即被反省的基础是“操作”过程，缺少了“操作”，反省无法落实；“操作”达不到一定数量，过程的各种状态和性质在心理上不易引起注意. 因此，学生“操作”的直接目的是现场积累学习新知识所必需的经验，或是对自己已具有的相对模糊的经验进行强化，增强体验使之处于活跃状态，从而为进一步的反思活动提供反思的对象和素材.
由于函数平移是学生第一次接触，缺乏学习新知识所必需的知识经验，所以必须要学生通过对函数图象进行描点、列表、连线，平推，对同一个自变量值对应函数值变化情况进行研究等手段的动手“操作”，和问题3的变式思考的内在智力“操作”，通过这些“操作”，为今后学习二次函数的上下平移、左右平移、绕顶点旋转，以及探究学习其他函数作了良好的铺垫.
（2）加强了反思抽象
学生通过“操作”活动，已感受到函数“平移”这一概念的直观背景，及如何研究新旧函数之间关系的一种基本方法与技巧. 当这种“操作”经过多次重复后，才能被个体熟悉，才能上升到通过认知压缩（抽象、概括、归纳）来形成的数学概念. 这个阶段的实质是学生对操作活动的反思，它经历思维的内化、压缩，抽象出了数学概念的本质. 反思抽象的过程在短时间内很难完成，这时，教师的作用就发挥出来了，需要教师设计一些具有启发性、探索性的问题，引导学生回味“操作”过程，让学生尝试抽象概括，在本课例中，教师通过问题1、问题2和问题3，给学生有时间和有机会对自己的“操作”活动进行思考、交流、概括等反省的思维活动，从而促进学生对函数“平移”概念的深刻理解.
（3）发展了学生的辩证思维
数学教学中，无论是数学概念，还是数学性质以及数与数、数与形、形与形之间的相互关系，无不充满着辩证法. 数学是培养学生辩证思维的良田沃土. 发展学生的辩证思维，就是要使学生养成依据辩证思维的规律来思考和解决问题.函数图象的平移、旋转运动中的“变”与“不变”既对立又统一. 在教学中，教师从辩证的角度去提出问题，即提出含元认知成分较多的问题：函数图象平移过程中，点与点是如何变化的？在点与点的变化过程中哪些元素发生了变化？变化了多少？由个体到整体怎么样？哪些元素没有改变？这对学生养成用辩证思维规律来思考和解决问题的习惯极为有益. 为下面学习用两点法、点斜法、特殊点法画一次函数图象打下良好基础，避免了比较烦琐的描点法，就能得到对函数y=kx+b的图象的认识，这是一个由此及彼的认知过程. 另外，还使学生初步感知了研究函数先从特殊再到一般的辩证关系.
（4）渗透了函数的数形结合的基本思想
数学教学的核心任务就在于学生习得与学会应用数学的思想方法. 以上的教学设计中，让学生通过“操作”、从数量差值相等的关系得出图形之间的直线相互平行关系，及图形之间的相互平行、平移关系得出两个函数的k与b的数学关系. 这对培养学生数学思想方法是大有裨益的. 对数学概念形成教学的启示
美国数学教育家杜宾斯基认为，学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达成理解. 而这一建构过程涉及操作阶段（包括外在的活动操作与内在的智力操作，如动手操作、归纳、演绎、讨论等）、过程阶段（对操作的活动进行反省内化，抽象出概念所特有的性质）、对象阶段（通过全面的抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精确化，成为具体的一个对象. 在以后的学习中，以此为对象去进行新的活动）、图式阶段（一个数学概念的图式是由相应的活动、过程、对象以及与某些一般原理相联系的其他图式所形成的一种存在于个体头脑中的认知框架）. 依据杜宾斯基的观点，笔者认为：
1. 在概念学习之初，应设计数学活动让学生“操作”，为概念的学习积累活动经验
杜宾斯基强调了在学习概念前的活动经验的准备与积累. 因此，在数学课堂教学中，教师要创造性地使用教材，对教材进行合理的加工处理，把教材的逻辑顺序转化为数学的活动顺序，并结合学生的数学思维特点，设计恰当的数学活动，让学生亲自“操作”，在“操作”中体验，在过程中感悟，在体验和感悟中理解数学概念的意义.
2. 留有充裕的时间，为概念的抽象提供时间保证
概念的学习是一个有层次的数学活动过程，从活动阶段到过程阶段，需要学生提炼出活动的数学意义，能在大脑中描述和反思活动，这个过程在短时间内很难完成. 在教学中，教师不能盲目地赶进度，让学生快速地接触抽象概念，而应留有充裕的时间，让学生去回味活动过程，让学生去尝试抽象概括，这个过程还需要教师通过一些问题的启发，引导学生，帮助学生从“过程”上升到“对象”.
3. 变式教学，符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受
在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新. 数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段. 教师不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，从而使学生掌握数学对象的本质属性. 问题3的变式让学生能更加清楚认识到函数平移的本质，让学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律
值得注意的是，在实际的数学概念教学中，有些教师并没有让学生进行“操作”，而只是借助于个别实物、实例很快进入概念定义，这种教学导致的教学后果是：学生失去由操作到定义的中介环节——反思抽象，难以真正完成概念的抽象，难以达到对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”.