一道由函数零点求参数值问题的多种解法探讨
中图分类号：P58 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）13-0021-01
高中数学中，函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，这是高考常见的题型，往往是根据零点定理的有关知识和参数求解常用方法，结合具体问题进行求解，本文以2017年全国高考新课标III理科数学的第11题为例，探讨由函数零点求参数值问题的多种解法。
已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A. B. C. D.1
本题主要考查函数的零点、导函数研究函数的单调性、分类讨论和数形结合数学思想等方面的知识和能力。函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则可将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用。
对于本题，首先要观察函数解析式，该函数是复杂函数，求导后仍是复杂函数，不易判断零点，需要再次求导；其次分析选项特点，一是选项与e无关，解题方向要考虑如何消掉e，二是判断a的正负；第三，观察（x-1）多次出现，可以考虑换元。因此，本题可以按正常的解题思路，即求导、看单调性、判断零点的解法，也可以考虑采用非常规方法来解决问题。
解法一：常规法1—求导
由已知得 ，所以 ，
又因为 ，
所以 时，
所以
所以 的最小值为 ，
因为 有唯一零点，所以 ，即 ，答案为C。
解法二：常规法2—分离参数法
，等价于 。
而 有唯一零点，等价于直线 与函数 的图象有且仅有一个公共点（一般地，这只需求出函数 的最值）。
化繁为简，令 ，则函数 。
原問题等价于直线 与函数 的图象有且仅有一个公共点。
下面用函数的性质研究 的取值情况。
首先易知， 的定义域为R，且为偶函数。
或 ； ；
对于非零实数 使得 ，则必有 ，不合题意；
所以只能是 ，答案为C。
解法三：常规法3--换元法
令 ，则 ，则 为偶函数，
有唯一零点，所以 有唯一零点，
所以 ，
即 ，答案为C。
解法四：非常规1--函数重构
分析函数构成特点，进行函数重构，将原函数拆分成一个二次函数和复合幂函数，
即
当 为正时，运用不等式放缩，
即
两者能在 能同时取得最小值，即 时，有唯一零点，
得 ，答案为C。
解法五：非常规2—判断式法
观察 是互为倒数的正数，当 为正时，
则
有唯一零点时，可判断 也有唯一零点。
对于 有唯一零点，则
得 ，此时 ，答案为C。
解法六：对称法
由条件， ，得：
∴ ，即 为 的对称轴，
由题意， 有唯一零点，
∴ 的零点只能为 ，
即 ，
解得 ，答案为C。